伯努利试验（Bernoulli experiment）是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。我们假设该项试验独立重复地进行了n次，那么就称这一系列重复独立的随机试验为n重伯努利试验，或称为伯努利概型。单个伯努利试验是没有多大意义的，然而，当我们反复进行伯努利试验，去观察这些试验有多少是成功的，多少是失败的，事情就变得有意义了，这些累计记录包含了很多潜在的非常有用的信息。

伯努利试验是一个有两种结果的简单试验，它的结果是成功或失败，黑或白，开或关，没有中间的立场，没有妥协的余地。这样的例子也特别多，例如我们观察从一副纸牌中拿出一张牌，它或者是黑色或者是红色；接生一个婴儿，或者是男孩或者是女孩；我们经历24小时的一天，或者遇到流星或者遇不到流星。在每一种情况下，很方便设计一种结果“成功”，另外一种结果为“失败”，例如选出一张黑色牌，生出一个女儿，没有遇到流星都可以表示为“成功”。然而，从概率的角度看，选择红牌、儿子、遇到流星为成功也是不会产生差异的。在这种场合下，“成功”是没有价值取向的色彩。

单个伯努利试验是没有多大意义的，然而，当我们反复进行伯努利试验，去观察这些试验有多少是成功的，多少是失败的，事情就变得有意义了，这些累计记录包含了很多潜在的非常有用的信息。

重复试验的相互独立性

伯努利试验是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其中“在相同条件下”意在说明：每一次试验的结果不会受其它实验结果的影响，事件之间相互独立。

独立一词不仅有专业定义而且还传达了适合我们目标的含义：如果一个事件的结果不会对另一个事件的结果产生影响，那么这两个事件是相互独立的。例如，史密斯生一个儿子与约翰逊生一个女儿是两个独立的事件；投一枚一角硬币与投一枚一分硬币的结果（正面或反面）也是相互独立的，一枚硬币的结果不会对另一枚硬币的结果产生影响。但是，如果我们研究一副纸牌中的两张牌，一次只能抽一张，并认为黑色牌为成功，于是在抽完第一张纸牌后再抽第二张纸牌时，独立性就丧失了，因为第一张牌的结果将直接影响第二次抽取的结果。

多次试验

判断某种试验是否为伯努利试验的关键是：首先，必须是重复的试验，即多次试验，而非一次试验；其次，每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，即事件发生的概率没有相互之间的影响。

在概率论中，把在同样条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型,进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其它次试验结果发生情况的影响，则称这n次试验是相互独立的。特别的，当每次试验只有两个可能结果时，称为n重伯努利试验。

（1）连续的n次射击；

（2）连续的掷n次硬币。

设在一次试验中，事件A发生的概率为p（0

推论

设在一次试验中，事件A首次发生的概率为p(0

特殊情形

二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，ξ表示事件A发生的次数。如果事件A发生的概率是p，则不发生的概率 q=1-p，n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率是：P(ξ=k)= (k=0,1,2,3…n），那么就说ξ服从参数p的二项分布，其中p称为成功概率。记作：ξ~B(n,p)。

（1）二项分布ξ的期望：Eξ=np；

（2）二项分布ξ的方差：Dξ=npq。

几何分布

在第n次伯努利试验中，ξ表示是事件A第一次成功的试验的第次，详细的说是：前ξ-1次皆失败，第ξ次成功。如果事件A发生的概率是p，则不发生的概率q=1-p，n次独立重复试验中，第k次试验是事件A的第一次成功的概率是：P(ξ=k)=(k=1,2,3…n)，那么就说ξ 服从参数p的几何分布，其中p称为成功概率。

（1）几何分布的期望Eξ= ；

（2）几何分布的方差Dξ= 。

参考资料

最新修订时间：2023-12-29 19:11