贝尔不等式（Bell's inequality）是理论物理学中一个有关是否存在完备局域隐变量理论的不等式。实验表明贝尔不等式不成立，说明不存在关于局域隐变量的物理理论可以复制量子力学的每一个预测（即贝尔定理）。

贝尔不等式是1964年贝尔提出的一个强有力的数学不等式。该定理在定域性和实在性的双重假设下，对于两个分隔的粒子同时被测量时其结果的可能关联程度建立了一个严格的限制。

而量子力学预言，在某些情形下，合作的程度会超过贝尔的极限，也即，量子力学的常规观点要求在分离系统之间合作的程度超过任何“定域实在性”理论中的逻辑许可程度。贝尔不等式提供了用实验在量子不确定性和爱因斯坦的定域实在性之间做出判决的机会。目前的实验表明量子力学正确，决定论的定域的隐变量理论不成立。

贝尔不等式不成立意味着，阿尔伯特·爱因斯坦所主张的局域实体论（local realism），其预测不符合量子力学理论。由于很多实验的结果与量子力学理论的预测一致，显示出的量子关联（quantum correlation）远强过局域隐变量理论所能够解释，所以，物理学者拒绝接受局域实体论对于这些实验结果的解释。陷入找不到满意解答的窘境，倘若不接受量子力学，物理学者只能无可奈何地勉强承认这是一种非因果关系的超光速效应（superluminal effect）。

贝尔不等式可以应用于任何由两个相互纠缠的量子位元所组成的量子系统。最常见的范例是纠缠于自旋或偏振的粒子系统。

在贝尔前后，别的物理学家也达到了和贝尔类似的认识，比如，李政道在贝尔之前就认识到具有定域隐变量的体系不可能有中性介子那样的量子力学关联。继贝尔之后，布歌尔(W．Buehel)与维格纳(E．P Wigner)等人对贝尔不等式给出了不同的证明，1979年后克劳塞、西蒙尼等人则导出了更为实用的广义不等式。包括法国物理学家埃斯帕纳所作的证明和洪定国所介绍的证明在内，贝尔不等式已有了多种证明方法。

1928年7月28日，约翰·斯图尔特·贝尔(John Stewart Bell)出生在北爱尔兰的首府贝尔法斯特。17岁时他进入贝尔法斯特女王大学攻读物理，虽然主修的是实验物理，但他同时也对理论物理表现出非凡的兴趣。特别是方兴未艾的量子论，它展现出的深刻的哲学内涵令贝尔相当沉迷。但贝尔对概率论的哥本哈根解释不置可否。贝尔想要的是一个确定的，客观的物理理论，他把自己描述为一个爱因斯坦的忠实追随者。

毕业以后，贝尔先是进入英国原子能研究所(AERE)工作，后来转去了欧洲核子研究组织(CERN)。他的主要工作集中在加速器和粒子物理领域方面。1952年玻姆隐变量理论问世，这使贝尔感到相当兴奋。贝尔觉得，隐变量理论正是爱因斯坦所要求的东西，可以完成对量子力学的完备化。

1963年，贝尔在日内瓦遇到了约克教授，两人对此进行了深入的讨论，贝尔逐渐形成了他的想法，对EPR佯缪长期的争论很感忧虑。贝尔最初同意玻姆的理论，并沿玻姆的思路进行着研究，认为爱因斯坦的隐变量一定存在着，并且理应在现代物理学框架之内。

1964年，贝尔意外地发现了贝尔不等式以及贝尔不等式实验验证的可能性，还有一些带推测性质的预言。他把论文投寄到科学期刊，但久无回音，原来编辑把它遗忘了。幸运的是编辑又把它重新找到，当正式发表出来，已过了一、二年。

“EPR佯谬”是爱因斯坦(Einstein A)，波多尔斯基(Pldolsky B)和罗森(Rosen N)三人，在1935年合写的《能认为量子力学对物理实在的描述是完备的吗》的文章中提出来的，以后人们就以三人姓氏的第一个字母合写作为称谓。

其经戴维·波姆简化后的具体内容为：考虑两个自旋为 1/2的粒子A和B构成的一个体系，在一定的时刻后，使A和B完全分离，不再相互作用。当观察者测得A自旋的某一分量后，根据角动量守恒，就能确定地预言B在相应EPR佯谬方向上的自旋值。由于测量方向选取的任意性，B自旋在各个方向上的分量应都能确定地预言。所以他们认为，根据上述实在性判据，就应当断言B自旋在各个方向上的分量同时具有确定的值，都代表物理实在的要素，并且在测量之前就已存在，但量子力学却不允许同时确定地预言自旋的8个分量值，所以不能认为它提供了对物理实在的完备描述。如果坚持把量子力学看作是完备的，那就必须认为对A的测量可以影响到B的状态，从而导致对某种超距作用的承认。

EPR 实在性判据包含着“定域性假设”，即如果测量时两个体系不再相互作用，那么对第一个体系所能做的无论什么事，都不会使第二个体系发生任何实在的变化。人们通常把和这种定域要求相联系的物理实在观称为定域实在论。

1927年，在布鲁塞尔的第五届索尔维会议上，德布罗意在会上讲述了他的“导波”理论。德布罗意不相信玻尔的互补原理，亦即电子同时又是粒子又是波的解释。德布罗意想象，电子始终是一个实实在在的粒子，但它受到时时伴随着它的那个波的影响。德布罗意认为量子效应表面上的随机性完全是由一些不可知的变量所造成的。假如把那些额外的变量考虑进去，整个系统是确定和可预测的，符合严格因果关系的。这样的理论称为“隐变量理论”（Hidden Variable Theory）。

玻姆的隐变量理论是德布罗意导波的一个增强版，只不过他把所谓的“导波”换成了“量子势”（quantum potential）的概念。在他的描述中，一个电子除了具有通常的一些性质，比如电磁势之外，还具有所谓的“量子势”。这其实就是一种类似波动的东西，它按照薛定谔方程发展，在电子的周围扩散开去。但是，量子势所产生的效应和它的强度无关，而只和它的形状有关，这使它可以一直延伸到宇宙的尽头，而不发生衰减。

在玻姆理论里，像电子这样的基本粒子本质上是一个经典的粒子，但以它为中心发散出一种势场，使它每时每刻都对周围的环境了如指掌。当一个电子向一个双缝进发时，它的量子势会在它到达之前便感应到双缝的存在，从而指导它按照标准的干涉模式行动。如果实验者试图关闭一条狭缝，无处不在的量子势便会感应到这一变化，从而引导电子改变它的行为模式。如果试图去测量一个电子的具体位置，测量仪器将首先与它的量子势发生无法直接被观测的作用。

玻姆理论能够很大程度上满足观测，数学形式却极为繁琐。且玻姆在恢复了世界的实在性和决定性之后，却放弃了另一样东西：定域性（Locality）。定域性指的是，在某段时间里，所有的因果关系都必须维持在一个特定的区域内，而不能超越时空来瞬间地作用和传播。但是在玻姆那里，他的量子势可以瞬间传播粒子所需要的信息。

继续发展爱因斯坦-波多斯基-罗森佯谬（简称为EPR佯谬）的论述（但是选择采用自旋的例子，如同戴维·玻姆版本关于EPR佯谬的论述），贝尔精心设计出一个思想实验：从衰变生成的两颗处于单态（singlet state）的自旋1/2粒子会分别朝着相反方向移动，在与衰变地点相隔遥远的两个地点，分别三维坐标系测量两个粒子的自旋，每一次测量得到的结果是“向上自旋”（标计为“+”）或“向下自旋”（标计为“-”）。

假设角动量为零的母粒子衰变成两个粒子A和B，根据角动量守恒定律，一个光子必具有与另一个光子相同的偏振态，这可以用垂直于粒子路径的静止的测量装置，并在某共同方向（比方说向上）测量其偏振态来加以证实。事实上已发现：当粒子A通过其偏振片时，B也总是通过的，即：发现了100%的关联。反之，如果偏振片相互垂直安配，那么，每当A通过则B被挡阻，这时有100%的反关联。在通常的经典力学中，这也是正确的。测量结果如表格所示：

在空间坐标系XYZ中：

假设粒子A在x方向上和粒子B在y方向上测量到自旋相同的相关性，那么Pxy=-N1-N2+N3+N4+N5+N6-N7-N8

同理，Pzy=-N1+N2+N3-N4-N5+N6+N7-N8

Pxz=-N1+N2-N3+N4+N5-N6+N7-N8

|Pxz-Pzy|=|-2N3+2N4+2N5-2N6|=2|(N4+N5)-(N3+N6)|<=2[|(N4+N5)|+|(N3+N6)|]

因为所有出现的概率和为1，即N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=1 代入上式可得

|Pxz-Pzy|<=(N3+N4+N5+N6)+(1-N1-N2-N7-N8)

所以|Pxz-Pzy|<=1+Pxy

当然，这一推导是被简化了的。隐变量不一定是离散的，而可以定义为区间λ上的一个连续函数。除此之外，还有集合式、几何式等证明方法。 贝尔原始的证明方法利用了斯特恩-革拉赫装置中电子运动的性质与自旋态跃迁概率的性质，结合经典概率论证明。除此之外，匈牙利物理学家F. P. 维格纳在1970年曾给出对贝尔不等式的“最简捷的”证明。

他的思路是：先导出两个Pr (sa = x, tb = y)的表达式，一个表现量子力学的特征，另一个表现定域隐变量理论的特征，然后把贝尔不等式的证明归结为证明这两个表达式不能同时成立。详细的证明方法可以在参考资料及扩展阅读文献中找到。

从上述推证中不难看出：贝尔不等式是由一元线性隐变量理论加定域性约束得到的，它表现了该理论对实验结果的限制情况。如果贝尔不等式成立，就意味着这种形式的隐变量理论也成立，则现有形式的量子力学就不完备。要是实验拒绝贝尔不等式，则表明量子力学的预言正确，或者是实验有利于量子力学。几十年来，人们就把贝尔不等式成立与否作为判断量子力学与隐变量理论孰是熟非的试金石。

贝尔推导出局域实体论会产生的结果。在这导引内，除了要求基本的一致化以外，不做任何其它特别的假定，贝尔发现的数学问题，很明显地不同于量子力学的预测，更不同于稍后得到的实验观测结果。这样，贝尔不等式排除了局域隐变量为量子力学的可信解释，虽然非局域隐变量理论的大门仍旧敞开无碍。贝尔在一份名为《物理》的杂志的创刊号上，发表了题为《论EPR佯谬》的论文，提出了他的结论，其原始形式是：

某些理论为了确定单独测量的结果，严格要求将额外参数加入量子力学，并且要求这动作不改变统计预测。对于这些理论，必定存在着一种机制，使得一台测量仪器的运作设定值的改变，会影响到另一台测量仪器的读值，不管两台仪器之间的距离有多么遥远。此外，涉及这机制的讯号必需瞬时地传播抵达，所以，这些理论不具有洛伦兹不变性。

在这里，所谓“在量子力学上增添一些参量以确定单次测量的结果的理论”就是“隐变量理论”。另一方面，按照“定域性原理”，当两个测量仪器相距足够远时，一个测量仪器的安置不可能影响另一个仪器的读数。因此，贝尔的上述结论可表成：“如果一个隐变量理论不改变量子力学的统计预言，就一定会违背定域性原理。”换句话说：“如果一个隐变量理论遵循定域性原理，就一定会改变量子力学的统计预言。”人们把遵循定域性原理的隐变量理论称为“定域隐变量理论”，于是，贝尔不等式若不满足则最终表成现在常见的形式：

任何定域隐变量理论不可能重复量子力学的全部统计预言。

如图2所示，对于自旋的量子相关性（假定100%侦测效率），局域隐变量理论的预测以实线显示，量子力学预测以虚线显示。假设两根直轴的夹角角度 θ 在上述基本案例角度之间，则局域隐变量理论的成立意味着量子相关性呈线性变化。但是根据量子力学理论，量子相关性应呈角度的余弦cos θ 变化。

由于贝尔不等式验证条件要求颇高，一直到20世纪70年代此项工作才得以开展起来。从1972年起到世纪末的近30年间，陆续公布了不少验证贝尔不等式的典型实验，其中大多数是用孪生光子对做的，因为人们逐渐认识到利用光的偏振性作检验更好。1982年，以阿莱恩·阿斯派克特为组长的法国奥赛理论与应用光学研究所里的一群科学家第一次在精确的意义上对EPR作出检验。实验结果和量子论的预言完全符合，而相对局域隐变量理论的预测却偏离了5个标准差。尔后，许多物理学家都重复阿斯派克特的实验，并且运用更新的手段，使实验模型越来越靠近爱因斯坦当年那个最原始的EPR设想。1998年，奥地利因斯布鲁克大学的科学家们让光子飞出相距400米，其结果偏离了局域隐变量理论预测30个标准差。2003年，Pittman和Franson报道了产生于两个独立源的光子对于贝尔不等式的违反，等等。

综合来看，贝尔不等式的验证工作大致分为三个阶段。从内涵上分，应该称为“三代检验”。　第一代检验在20世纪70年代上半叶，是用原子的级联放射产生的关联光子对做的，实验在伯克利(Berkeley)、哈佛(Harvard)和得克萨斯(Texas)等地完成。大多数的实验结果都同量子力学的预期一致，但由于实验设计方案离理想实验较远，特别是实验中使用了只给出“+”通道结果的起偏器，因而有的实验结果的置信度不可能高。

第二代检验开始于20世纪80年代后期，是用非线性激光激励原子级联放射产生孪生光子对做的。实验中采用了双波导的起偏器，实验方案也如同EPR理想实验的一样，且孪生光子对光源的效率很高，实验的结果是以10个标准差，明显地与贝尔不等式不符，而同量子力学预期一致，令人印象深刻。

第三代验证实验开始于20世纪80年代末期，是在马里兰(Maryland)和罗切斯特(Rochester)做的。是采取非线性地分出(Spliting)紫外光子的办法来产生EPR关联光子对。用这样的光子对，测量时可以瞄准偏振或旋转体中任何一个非连续的变化（就象贝尔考虑的情况）或者瞄准模型连续的变化（如同EPR原先的设想）。这种光子源有一个显著的优点，就是能够产生非常细小的两个关联光子束，可以输入到很大长度的光纤中去，因而用光纤联接的光源和测量装置之间允许分开很远（有的甚至超过10km），使验证实验更加显得直接和客观。

这些年来，贝尔不等式已通过了各种各样的实验证伪。很多关于这些实验的不足之处都已被找到，包括“侦测漏洞”、“通讯漏洞”等等。由于科技的进步，实验也逐步的改良，更能够针对这些漏洞给予补足，但是没有任何实验能够完全地补足这些漏洞。至今，有大量实证支持贝尔不等式不成立。主流量子力学教科书将贝尔不成立视为基础物理定理。但是，没有任何物理定理能够毫无疑问的被接受；有些物理学者反驳，隐藏的假定或实验漏洞否定了理论的正确性。但是，大多数物理学者承认，有很多实验验证确定贝尔不等式已被违背。

为了检验贝尔不等式，许多实验付诸了实施，其中最有成效的是阿斯派克特、达利巴德与罗哲等人在1982年12月《物理评论快报》（Physicol Review Letters，vol.39，P.1804）上报导的。

他们的实验是对于由钙原子单次跃迁中同时发射的反向运动的光子对进行偏振测量。由4p　(J=0)→4s4p　1P1(J=1)→4s2 1S0(J=0)这个级联产生两个偏振关联的可见光子：λ1=551.3 nm,λ2=442.7 nm。实验布局如图3所示。聚焦在相互作用区的两个激光束垂直照射钙原子束（钙原子只能通过双光子“级联辐射”再次衰变至原态），相互作用区是长1 mm、直径60 μm的圆柱体。在相互作用区内典型密度为3×10个原子/cm，这样低的密度足以防止422.7 nm共振光的截获。采用双光子激发，第一个激光束(λK=406.7 nm)由单模氪离子激光器提供，第二个激光束为连续单模染料激光器，调谐到双光子过程的共振波长λD=581 nm。这两个激光器有着平行的偏振，每个功率为40 mW，典型的级联率为4×10^7/s。偏振器Ⅰ和Ⅱ为堆片式偏振器，每个都是由倾斜成布儒斯特角的10片光学平面玻璃组成，前面插入一个线偏振片，它们的效率由实验装置测定。在光源两边约6米远处各置有一个声光开关装置，其原理是利用水的折射率略随压强而变这一事实。

在此开关中，利用反向传感器建立起约25MHz的超声驻波。安排光子以接近全内反射的临界角碰到开关上，致使每半个声波周期（即频率为50MHz）可以有一次由透射条件向反射条件的转换。

然后，无论是沿入射路径（透射之后）出射的光子还是偏转（通过反射）的光子，都遇到偏振片，它们会以确定的几率透过或挡住光子，这些偏振片以不同的角度相对于光子偏振取向。于是，光子的命运由固定在这些偏振片背后的光电倍增探测器所监视，光源两边的装置是一样的。

此实验是通过电子监视每对光子命运并评估关联的级别而实施的。这个实验唯一而本质的特征是：在光子飞行途中，可以任意地更改光子的继后路径（即改变它们将要指向哪一个偏振片）。这等价于光源每一边的偏振片如此快地重新取向，以致信号即使以光速也没有足够的时间从一边传递到另一边。为了验证两位科学巨人的愿望，阿斯派克特等人前后奋战了8年，直到1982年才终于使偏振分析器保持各自方向的时间由原来的60ns 缩短为10ns，它短于光子在左右两个偏振分析 器（距离L=13m）之间飞行时间L ≈40 ns与光子发射寿命（约为5ns）。 这样就实现了在光子飞行期间改变偏振分析器的取向，满足了贝尔的定域条件。1985年，阿斯派克特接受采访时这样评论：”我们实验的主要特征之一就是改进了光子源的效能。以往研究EPR关联的各种努力之所以导致相当不确定的结果，主要是因为所使用的源仅能产生弱信号。”　实际上，开关转换并不是严格无规的，在不同频率下的驻波是独立地产生的，除非采用最为机敏的隐变量“同谋”理论，这跟真正无规转换之间的差别是无关紧要的。

阿斯派克特等人报导：在他们的实验中，一次典型的实验持续12000秒，这段时间等分为三个阶段：其中之一的实验安排如上所述；另一个是将上述实验中的所有偏振片拆除；第三个是在S的两旁每边只拆除一个偏振片，这样就可以纠正实验结果中的系统误差。　在这个实验中，根据贝尔不等式，如果现实是实在性的，则函数F（关于两边四个检测器分别在四个偏振角度A1，A2，B1，B2上同时检测结果的函数）的值必须介于-2.0与+2.0之间。但是，所有的实验结果均表明：贝尔不等式不成立，而且，函数F的值总是符合量子理论（采用波函数描述光子）的预测。具体来说，因此，现实是非实在性的，而且可以被量子理论描述；并且量子理论是非局域性的。其实，如果现实是非定域性的，那么，即使A与B两边相距很远（甚至以光年计），贝尔不等式也不可能成立。

奥地利的因斯布鲁克大学(Innsbruck)的实验也是一个典型例子。　首先，他们将两个测量站之间的距离分开400m以上，每个测量站都用计算机同起偏器相联，每个起偏器都能随机而超快地开关变化“+”、“一”两个信道，光纤将起偏器同位于测量站中部的孪生光子对光源接通。实验时，孪生光子对离开光源后沿光纤反方向地传播出去，两个测量站的探测器和计算机随即收集并整理各光子通过“+”“一”信道的两例数据。要特别强调的是，置身于两边测量站起偏器后面的观察者，看到的仅仅是表观的无规则的“+”“一”的两个系列结果，在他那儿的单个测量中，不可以估计到对方测量站的操作者怎样突然改变起偏器的方向（因为有1.3 微秒的时间间隔允许作起偏器方位的任意设置）。由于计算机输出的起偏器“+”“一”信道的两列数据都有原子钟精确定时，还可以通过起偏器方向随机超快的变化来阻止它们间任何小于或等于光速的信号传递。所以，将两个测量站各得到的两列数据比较到后面部分，因斯布鲁克小组的物理学家就能断定：只要某方起偏器开关一有动作，孪生光子对的两个光子分别通过两边测量站信道的状况就会同号地改变。即当发现光子v。为正的偏振时，它的孪生同伴v也会被发现是正的偏振，反之亦然。其间没有任何时间上的延迟，这就反映了孪生量子实体的不可分离性，也就是非定域性。

他们最后作出的结论是：实验结果极为优势地同量子力学的预期一致，无可置疑地违反了贝尔不等式。

从贝尔不等式的验证实验可以看到，特别挑出来的具有严格相对论性分离的测量都严重违反贝尔不等式，说明按爱因斯坦方式描述孪生光子对的想法是行不通的，因为爱因斯坦是把EPR光子对的相互关联看成是由普通光源决定的普通性质，而后这些性质又在光子离开光源时被一道带走。但真实的情况应该是：一个EPR纠缠光子对是一个不可分离的实体，是不可能分派单独的局部性质给每个光子的。从某种意义上说，孪生光子对之间通过空间和时间保持联系，是量子不可分离性的直接明显的表现。难怪EPR文章会引起玻尔的强烈震动。盖因多粒子体系可能会导致纯粹的量子效应！这在EPR论证提出以前是从未清晰地显露尊容的。而今，这种源于“非定域性”的量子效应已激起量子信息研究的蓬勃开展，涉及诸如量子密钥分配、量子浓缩编码、量子隐形传态、量子纠错码、量子计算机等众多领域。　贝尔不等式近30年的验证历程，使量子力学的正确性又经受了一场高技术、高规格的严峻证明，它标志着直到今天实验都不支持对量子力学非完备性的指责，也反映了定域隐变量理论是不能取代量子力学的，就连贝尔本人都断然认定：“任何定域隐变量理论都不可能重现量子力学的全部统计性预言”（贝尔定理）。

总之，贝尔不等式及其验证结论的科学意义是深远的，它把量子力学中纠缠着哲学思辩的争论演化成了可以运作的检验；贝尔不等式的验证经历与显现效应的现实意义也是重大的，它指引人们窥视到信息领域已经展现的神奇美景。诺贝尔物理学奖得主约瑟夫逊认为贝尔不等式和贝尔定理是“物理学中最重要的进展”，哲学家斯塔普认为贝尔定理是“意义最深远的科学发现”。它不仅对量子力学的完备性和量子实体的不可分离性起到了“见证”的作用，而且对展开人们的思维和视野也将产生积极长久的影响。贝尔不等式验证的否定结论和过程中显出的效应，同迈克耳逊-莫雷实验的否定性结论一样，对物理学的进一步发展具有同等重要的地位。