费马平方和定理是由法国数学家费马在1640年提出的一个猜想，但他没有提出有力的数学证明。1747年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出证明后成为定理。

费马平方和定理的表述是：奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被4除余1。

欧拉在1747年证明了费马平方和定理，当年他四十岁。他在当年5月6日寄给哥德巴赫一封信，讲述这个定理的证明。该证明分五步，且用到了无穷递降法；由于信中没有把第五步讲清楚，因此1749年他再次寄给哥德巴赫一封信，详细讲述第五步的证明。接下来给出欧拉对费马平方和定理的证明。

定理1：平方分解数的积是平方分解数。

证明：

定理2：平方分解数被素平方分解数整除的商是平方分解数。

证明：

由于，因此。是质数，则它整除其中一个因子，不妨设，另一种情况同理。，则有，那么

因此，

定理3：平方分解数被非平方分解数整除的商必有一个非平方分解因子。

证明：设，是平方分解数，是非平方分解数。如果均是平方分解数，根据定理2，用一个个去除，所得结果也是平方分解数，与假设矛盾。

定理4：如果和互素，则的所有因子都是平方分解数。

这一步的证明运用了无穷递降法。

证明：假设

，则。设，由于，则。设，则。设，则。若不是平方分解数，根据定理3，必有一个非平方分解因子，设为，则。因此，如果存在一个非平方分解数是一对互素数平方和的因数，就必定存在一个非平方分解数是另一对互素数平方和的因数。而正整数不可能无穷减小，因此假设不成立，必为平方分解数。

定理5a：形为的素数是平方分解数。

证明：设。根据费马小定理，，则，那么有或。假设，根据定理4，是平方分解数。否则，对不断做差分的结果都可以被整除，，而显然不成立，因此这种情况不存在，必为平方分解数。

定理5a证明了充分性，还需要证明必要性。

定理5b：形为的数不是平方分解数。

证明：完全平方数模4只可能为0或1，因此不存在两个完全平方数之和模4为3。

至此，我们证明了费马平方和定理：奇质数是平方分解数的充分必要条件是该质数形为。