超几何方程_数学术语 - 线报百科mbji.cn

超几何方程

数学术语

超几何方程具有三个正则奇点并有规范形式的一类富克斯方程。利用(非奇)分式变换v= (AC-BD≠0)，对具有三个正则奇点的富克斯方程进行变量代，可以进一步化简方程。

定义

其中和为任意参数，被称为超几何方程．它在x=0，x=1和有奇点．

此外，任意齐次线性二阶微分方程

可被转换为超几何方程，前提是方程有两个不同的根和．重写上述超几何方程在如下定义的新的自变量t下

得

其中设

再次用x表示新变量t 即得到超几何方程．

如果则超几何方程通过两次积分是可解的．如并积分方程

得到，其中

则二次积分得到

均为常数。

在超几何方程理论中，主要强调的是超几何方程的渐近线和它在单点旁的级数解．但是，实际上经常需要一类超几何方程的通解解析式．因此，下面的定理决定了一类超几何方程可以被初等函数可积或是求积．