超球面_普通的球面在任意维度的推广

超球面

普通的球面在任意维度的推广

超球面，也称n维球面，是普通的球面在任意维度的推广。它是(n + 1)维空间内的n维流形。特别地，0维球面就是直线上的两个点，1维球面是平面上的圆，2维球面是三维空间内的普通球面。高于2维的球面有时称为超球面。

超球面介绍

1.定义

高于2维的球面称为超球面。中心位于原点且半径为单位长度的维球面称为单位n维球面，记为。用符号来表示，就是：

超球面是n维球体（）的表面或边界，是维流形的一种。

对于任何自然数，半径为的维球面定义为维欧几里得空间中到某个定点的距离等于常数的所有点的集合，其中可以是任何正的实数。它是维空间内的维流形。特别地：

1) 0维球面是直线上的两个点；

2) 1维球面是平面上的圆；

3) 2维球面是三维空间内的普通球面；

4)3维球面是四维空间内的球面。

2.(n+1)维空间中的欧几里得坐标

维空间中的点：定义了一个维球面，由以下方程表示：

其中是中心点，是半径。

以上的维球面在维空间中存在，是维流形的一个例子。半径为的维球面的体积形式由下式给出：

其中*是霍奇星算子。因此，。

3.超球体

由维球面所包围的体积，称为维球体。如果把球体的表面包括在内，则维球体是封闭的，否则是开放的。

特别地：

1) 1维球体，是一个线段，是0维球面的内部。

2) 2维球体，是一个圆盘，是圆（1维球面）的内部。

3) 3维球体，是一个普通的球体，是球面（2维球面）的内部。

4) 4维球体，是3维球面的内部。

超球体体积

维球面所包围的体积（维球体的体积）由以下公式给出：

其中是伽玛函数。对于偶数，；对于奇数，，其中表示双阶乘。

由此可以推出，对于给定的，常数的值为：

1) （对于偶数n=2k），

2) （对于奇数n=2k+1）。

这个(n-1)维球面的表面积是：

n维球面的表面积和体积之间有以下的关系：

从此可以推导出递推关系：

这些公式也可以直接从n维球坐标系中的积分推出。

例子

对于较小的，半径为维球体的的体积为如下：

但当趋于无穷大时，趋于0。

如果维度不限于整数，那么维球面的体积就是的连续函数，它的极大值位于，体积为。当或时，体积为1。

单位维球面的外切超正方体的边长为2，因此体积为2；当维度增加时，维球面的体积与外切于它的超正方体的体积之比单调减少。

超球坐标系

可以定义维空间内的坐标系统，与3维空间内的球坐标系类似，由径向坐标和个角度坐标组成。如果是笛卡儿坐标系，那么我们可以定义：

从中可以推出逆变换的公式：

注意最后一个角的值域为，而其它角的值域为。这个值域覆盖了整个球面。

维空间内的体积元素可以从变换的雅可比行列式得出：

以上n维球体的体积方程可以通过积分来重新得出：

维球面的体积元素是2维球面的面积元素的推广，由以下公式给出：

参考资料

最新修订时间：2022-09-24 21:14

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