子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G。链群(chain group )是建立同调群的重要概念。

若链复形K的一个q维链xq是K的一个(q+1)维链xq+1的边缘，即xq=，则xq称为q维边缘链。所有K的q维边缘链的集合是Cq+1(K)在边缘同态下的像，称为复形K的q维边缘链群，记为或简记为Bq(K)，这里为整数加群。Bq(K)是链群Cq(K)的子群，由边缘同态性质得出，Bq(K)也是闭链群Zq(K)的子群，即：

根据群同态定理，由可得满同态，其核为Zq(K)，再由同构定理得：

设G是一个非空集合，G上有一个叫做乘法的代数运算，即有一个G×G到G的映射，对a，b∈G，(a，b) 在这个映射之下的象记作ab，如果以下条件被满足，则称G是一个群： (1) 对于任意的a，b，c∈G，(ab)c=a(bc)。(2)对任意的a，b∈G，方程ax=b，ya=b在G中有解。设G是一个群，存在唯一的元素e∈G使得对任意的a∈G，ea=ae=a，e称为G的单位元。对任何a∈G，存在唯一的元素a∈G，使得aa=aa=e，a称为a的逆元。一个群的元素个数如果是有限的，则称这个群是有限群，否则，这个群称为无限群。有限群的元素个数称为这个群的阶。对于群G的元素a，使得a=e的最小正整数m称为a的阶，这里a表示m个a相乘的积，如果不存在这样的正整数m，则称a是无限阶的。

设G1，G2是两个群，是G1到G2的一个映射，如果对任意的a，b ∈ G，(ab)=φ(a)φ(b)，则称φ是群G1到G2的同态。群G1到G2的同态φ如果是单射(满射)，则称φ是单同态(满同态)，如果φ还是个一一映射，则称是一个同构，而且称群G1与G2是同构的，记作G1≌G2。如果一个非空集合A到自身的一些一一映射在映射的复合运算下作成一个群，这种群称为变换群。凯莱定理指出，每个群都与一个变换群同构。有限集合到自身的一一映射称为置换，n个元素的集合的全体置换做成的群称为n次对称群，记作Sn。设G是一个群，a∈G，规定对于正整数m，(a-1)=a，a=e，则对任何整数n，a有意义。设G是一个群，如果存在a∈G，使得G={a|n为整数}，则称G为循环群，记作G=(a)，a称为G的一个生成元。设G=(a)，如果a的阶无限，则G与全体整数在加法运算之下做成的群同构。如果a的阶为正整数n，则G与模n的剩余类在加法运算之下做成的群同构。设G是一个群，H是G的子集，如果H对于G的运算也做成一个群，则称H是G的一个子群。设H是群G的一个子群，对任意的a∈G，定义aH={ah|h∈H}，Ha={ha|h∈H}，aH和Ha分别称为子群H的一个左陪集和右陪集。若G是有限群，则H的左、右陪集的个数都等于|G|/|H|。从而有限群G中每个元素的阶都是G的阶的因子。设H是群G的子群，如果对任意的a∈G，aH=Ha，则称H是G的正规子群，或不变子群。设H是G的一个正规子群，H的左陪集全体记作G/H，对任意的aH，bH ∈ G/H，定义 (aH) (bH) = (ab) H，则G/H也做成一个群，这个群称为G的一个商群，映射π： G→G/H，a→aH，是一个满同态。设φ是群G1到群G2的同态，Kerφ= {a∈G1|φ(a)=e}称为φ的核。φ(G1)={φ(a)|a∈G1} 称为的象，Ker是G1的正规子群，(G1)是G2的子群，并且(G1)≌G1/Kerφ。

链群(chain group )是建立同调群的重要概念。设K是一个n维复形，它的全体q维单形的集合记为{i|i=1，2，…，αq，q=0，1，…，n}。设si是q维单形i任意选定了一个定向后形成的有向单形，当q=0时，记si=+〈ai〉，则这样的有向单形组：

称为复形K的有向单形的一个基本组。对于整数加群Z中的整数gi，约定gisi=(-gi)(-si)，则以整数为系数的任意一个线性组合：

称为K的一个q维链；当其系数全为零时，这个链用0表示。若另有q维链：

定义它们的和为：

则对这样的加法，K的全体q维链形成一个自由交换群，称为K的q维链群，记为Cq(K;Z)，或简记为Cq(K)。基本组{si}为这链群的一组基。为了方便也可将q推广到所有整数，当q<0或q>n时，规定Cq(K)=0。

子群是群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若对G的乘法也成为群，则称H为G的子群，记为H≤G.若子群H≠G，则称H为G的真子群，记为HG或简记为H充分必要条件是：对任意的a，b∈H，恒有ab∈H。若{Hi|i∈I}是G的子群的集合，I是一个指标集，则所有Hi的交Hi是G的一个子群。

设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤. 称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有：

设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射.f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素. (在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态， 而并不因此就是幺半群的同态)。

设G为乘法群，而a为G的元素. 由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态.

设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态. 这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f将A的单位元变成B的单位元.

例如，设n为非零自然数；使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态。设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数)。 称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。

例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基。 则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态。

同态的概念能用抽象的方式加以推广。