连续映射(continuous mapping)拓扑空间之间的一类重要映射。

设(X,τ)与(Y,τ')是两个拓扑空间，f:X→Y是映射，x∈X。若f(x)的每一邻域关于f的原像是x的邻域，则称f在点x处是连续的。若f在X的任意点是连续的，则称f是(X,τ)到(Y,τ')的连续映射。

f为连续映射的等价条件有很多，例如：

1.Y的每一开集的原像是X的开集。

2.Y的每一闭集的原像是X的闭集。

3.对于任意x∈X和f(x)的任意邻域U，存在x的邻域V使得f(V)⊂U。

4.对于X的每一子集A，有f(cl(A))⊂cl(f(A))。

5.对于Y的每一子集B，有cl(f^(-1)(B))⊂f^(-1)(cl(B)).

6.对于任意s∈X和X中每一收敛于s的网{Sn,n∈D,≤} ,Y中的网{f(Sn),n∈D,≤}收敛于 f(s). 抽象空间的连续映射是弗雷歇(Fréchet, M. -R.)于1910年开始考虑的.