连续映射(continuous mapping)拓扑空间之间的一类重要映射。

设(X,τ)与(Y,τ')是两个拓扑空间，f:X→Y是映射，x∈X。若f(x)的每一邻域关于f的原像是x的邻域，则称f在点x处是连续的。若f在X的任意点是连续的，则称f是(X,τ)到(Y,τ')的连续映射。

f为连续映射的等价条件有很多，例如：

1.Y的每一开集的原像是X的开集。

2.Y的每一闭集的原像是X的闭集。

3.对于任意x∈X和f(x)的任意邻域U，存在x的邻域V使得f(V)⊂U。

4.对于X的每一子集A，有f(cl(A))⊂cl(f(A))。

5.对于Y的每一子集B，有cl(f^(-1)(B))⊂f^(-1)(cl(B)).

6.对于任意s∈X和X中每一收敛于s的网{Sn,n∈D,≤} ,Y中的网{f(Sn),n∈D,≤}收敛于 f(s). 抽象空间的连续映射是弗雷歇(Fréchet, M. -R.)于1910年开始考虑的.

在点集拓扑学中．映射的连续性可用ε一δ语言描述，也可用于开集对应来描述。前者适用于度量空间．后者适用于抽象拓扑空间，为了点集拓扑学与数学分析顺利连接，先介绍连续性的ε一δ语言描述，后介绍连续性的开集对应描述。

连续映射用ε-δ语言描述必须分成在一点连续与在定义域上连续两个阶段来定义，且适用于两个度量空间之间的映射：

定义1 设X和Y是两个度量空间，映射f：X→Y;x0∈X，y0=f(x0).若对任一以y0为中心、ε>0为半径的开球 (ε)，存在以x0为中心、δ>0为半径的开球 (δ)，使f( (δ)⊂ (ε)。则称映射f：X→Y在x0处连续.

定义2 设X和Y是两个度量空间，映射f：X→Y。若映射f在每一点x∈X连续．则称f：X→Y是连续映射。

注记1：不难看出，两个度量空问之间映射的连续性用ε一δ语言描述，是用开球对应代替不等式对应。ε一δ的不等式对应只适用于1维度量．ε一δ的开球对应则把连续性的描述扩展到n维度量。当n>3，开球对应中的开球是n维超开球体。

连续映射用开集对应描述无须分成在一点连续与在定义域上连续两个阶段来定义，且适用于两个拓扑空间之间的映射。

定义3 设T和J是两个拓扑空间，映射f：T→J。若每个J中的开集U，其逆象 在T中也是开集，则称f：T→J连续映射．

注记2：用开集对应描述映射连续性的时候，可以撇开度量性。无须分成在一点连续与在定义域上连续两个阶段，这是ε一δ语言与开集语言的最大区别。

连续映射(continuous mapping)是拓扑空间之间的一类重要映射。

定理1 设f：X→Y，g：Y→Z均为连续映射，则复合映射g。f：X→Z也是连续映射。

从几何意义看：连续映射把集合X中彼此“靠近”的点，映射后的像在Y中仍彼此“靠近”，也就是经过连续映射，不会破坏集合X的完整性，使图形不产生破裂。如图二所示，通过连续映射f将圆周X映射成任意形状的闭曲线Y，圆周上任意一点x，在闭曲线上的像为y，圆周上x“附近”的点，映射后的像在闭曲线上仍是像点y的“附近”点，保持图形的完整性。

如果图形在映射后产生破裂，如图三所示，通过映射f将圆周X映射成任意形状的开曲线Y，圆周上的点x，在开曲线上的像为断开点y，则圆周上x“附近”的点，映射后的像在开曲线上一部分与像点y“附近”，另一部分与像点y不“附近”，这说明映射f在点x上不连续。

连续映射保持了图形的完整性，图形在变换过程中不会破裂，但可能会出现“粘连”现象。如图四所示，一个圆周经过连续的变形(即连续映射)，最后形成双扭曲线形状，那么这个变换过程是连续的，但它将圆周上的不同点a及b映射为同一点，即图形发生“粘连”现象。这说明连续映射并不能保证图形不会出现重叠，连续映射还不是我们要找的弹性变换。

定理2 映射T：(E1，ρ1)→(E2，ρ2)在点Xo∈E1连续当且仅当对任意的ε>0，∃δ>0使得

定理4 映射T：(E1，ρ1)→(E2，ρ2)连续↔任意开集在T下的逆像是开集↔任意闭集在T下的逆像是闭集.