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里奇曲率

数理科学名词

曲率是刻画流形的重要几何量。里奇曲率(Ricci curvature)是n维黎曼流形的n-1个截面曲率的和。

简介

设(M,g)为维黎曼流形，R为黎曼曲率张量，为点处的任意一个切标架，对偶的余切标架是。设，则里奇曲率张量（Ricci curvature tensor）是

对于任意非零切向量u，称

为在点沿切方向u的里奇曲率。

若取为单位正交切标架，且，则易知

即里奇曲率是n-1个截面曲率的和，因此关于里奇曲率为正或负的假定弱于关于截面曲率为正或负的假定。特别地，若M具有常截面曲率k，则M的里奇曲率为。

相关概念

数量曲率

[scalar curvature]

设(M，g)为维黎曼流形，为点处的单位正交切标架。则称

为在点处的数量曲率。

在局部坐标系下，数量曲率 S 的表达式为

式中，为黎曼曲率张量R在该局部坐标系下的分量。

特别地，若 M 具有常截面曲率k，则 M 的数量为。

截面曲率

[sectional curvature]

截面曲率是曲面内蕴几何学中高斯曲率在黎曼几何中的推广。

设(M,g)为维黎曼流形，R为黎曼曲率张量。，对于中的任意两个线性无关的向量u、v，称为在点𝑥沿截面截面曲率。

证明的值只依赖于二维截面（即 M 在点的切空间的一个二维子空间），而与该截面的基底 u，v 的选取无关。

截面曲率是黎曼几何中重要的内蕴几何量，它反映了空间弯曲的程度，并在曲线弧长的第二分公式中自然地出现，它为正成负，影响了该空间中测地线的大范围性状。

参考资料

最新修订时间：2024-01-26 04:13

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