三角形的重心是指三角形三条
中线的交点。这个概念在
平面几何的研究中具有重要的地位。对三角形重心的研究可以追溯到古希腊时期，阿基米德在《论平板的平衡》中对各种形状（包括三角形）物体的重心进行了讨论。
定义
三角形的三条
中线交于一点，该交点称作三角形的重心。
可证明三角形的三条中线三线共点：取的中线，，令其交点为点，连接并延长于交于点。
解得，即点为边的中点。故三角形三条中线共点，该交点即为重心。
性质
性质定理1
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为。
证明：过点作边的平行线交的延长线于点，则有
又由点是的重心可知，点是边的中点，即。
故代入比例关系可得
该性质定理得证。
性质定理2
重心与三顶点连线将三角形分为面积相等的三部分。重心到三条边的距离与三条边的长度成反比。
证明：由，是底边共直线的三角形可得
即。
同理可得，则两式相减可得到。
同理有，则有。
令，，，，，，则有
即
该性质定理得证。
性质定理3
点是的重心，则有向量关系。
证明: 由点是的重心可知，点是边的中点，则有
由性质定理1可知，则有。
同理有。
因而
该性质定理得证。
在
平面直角坐标系中，给出的顶点坐标，，，可依此解得其重心的坐标
性质定理4
重心到三角形各顶点的距离平方和最小。
证明：设在在
平面直角坐标系中，的顶点坐标，，，考虑平面内任一点到三顶点距离平方和
故当，即点P坐标为时取得最小值。
而由性质定理3可得，此时的点即为三角形重心。
该性质定理得证。
性质定理5
三角形的重心也是该三角形所对应的中点三角形的重心。
证明：由点是的重心可知，点是边的中点，点是边的中点，点是边的中点。则为的中位线，即且。
而又由点是边的中点可知且，故四边形是平行四边形，所以是的中点。
同理有是的中点，是的中点。因此是的重心。
该性质定理得证。
性质定理6（欧拉线）
三角形的外心，重心，垂心三点共线，且。直线也称的欧拉线。
证明：连接并延长，与边交于点。作的
外接圆，连接并延长与圆周交于点，连接，，，，。
由重心定义可知为的中点，故由垂径定理有,而为垂心，有,。故，。
由是圆直径可知，，则可得到，，因而四边形是平行四边形，有且。
由为的中点，为的中点可知为的中位线，则。
故而有，而由性质定理1可知，则有。结合可知，则，且。
又由三点共线可知三点共线。
该性质定理得证。
判定
判定定理1
三角形中线上到顶点距离和到对边中点距离比为的点是该三角形的重心。
证明：连接并延长交于点，连接并延长交于点，则在和直线中考虑梅涅劳斯定理可得
由，且为边中点即，可知。即点为边的中点。
同理点为边的中点。从而点为的重心。
该判定定理得证。
判定定理2
在所在平面内一点满足向量关系，则点为的重心。
证明：延长与边交与点，则由，，共线，可设，则
由，，共线，可设，则
因而由平面向量基本定理，上述两式对应系数相等，即：
解之得
即点为边的中点且，则由判定定理1可知点为的重心。
该判定定理得证。
应用举例
例1 非等边的三边长分别为且满足。的重心、内心分别为点，。直线将分为两部分，其面积分别为，，且。求的值。
解：连接并延长交边于点，连接并延长交边于点，过作于点，过作于点。设长，长。
由内心的定义知点为三条角平分线的交点，故由角平分线定理可知点到三边距离相等，均为。因而有
而由可得
线段是的高，故有
则可得
由，可知，则
故而有
而由重心性质可知，则有
则有，得，则有
即的值是。
例2 点为的重心，点为内部不与点重合的任意一点。直线与三边所在直线分别相交于点求证：
解：连接过作于点，过作于点。
由，可得，则有，可得
由点为的重心可知，故
同理有
三式相加即可得
从而原命题得证。