群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构;是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称*，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群*下保持不变的性质，来定义各种几何学*，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。 链群是一个数学术语。是建立同调群的重要概念。

链群(chain group )是建立同调群的重要概念。设K是一个n维复形，它的全体q维单形的集合记为{i|i=1，2，…，αq，q=0，1，…，n}。设si是q维单形i任意选定了一个定向后形成的有向单形，当q=0时，记si=+〈ai〉，则这样的有向单形组：

称为复形K的有向单形的一个基本组。对于整数加群Z中的整数gi，约定gisi=(-gi)(-si)，则以整数为系数的任意一个线性组合：

称为K的一个q维链；当其系数全为零时，这个链用0表示。若另有q维链：

定义它们的和为：

则对这样的加法，K的全体q维链形成一个自由交换群，称为K的q维链群，记为Cq(K;Z)，或简记为Cq(K)。基本组{si}为这链群的一组基。为了方便也可将q推广到所有整数，当q<0或q>n时，规定Cq(K)=0。

设G是一个非空集合，G上有一个叫做乘法的代数运算，即有一个G×G到G的映射，对a，b∈G，(a，b) 在这个映射之下的象记作ab，如果以下条件被满足，则称G是一个群： (1) 对于任意的a，b，c∈G，(ab)c=a(bc)。(2)对任意的a，b∈G，方程ax=b，ya=b在G中有解。设G是一个群，存在唯一的元素e∈G使得对任意的a∈G，ea=ae=a，e称为G的单位元。对任何a∈G，存在唯一的元素a∈G，使得aa=aa=e，a称为a的逆元。一个群的元素个数如果是有限的，则称这个群是有限群，否则，这个群称为无限群。有限群的元素个数称为这个群的阶。对于群G的元素a，使得a=e的最小正整数m称为a的阶，这里a表示m个a相乘的积，如果不存在这样的正整数m，则称a是无限阶的。

设G1，G2是两个群，是G1到G2的一个映射，如果对任意的a，b ∈ G，(ab)=φ(a)φ(b)，则称φ是群G1到G2的同态。群G1到G2的同态φ如果是单射(满射)，则称φ是单同态(满同态)，如果φ还是个一一映射，则称是一个同构，而且称群G1与G2是同构的，记作G1≌G2。如果一个非空集合A到自身的一些一一映射在映射的复合运算下作成一个群，这种群称为变换群。凯莱定理指出，每个群都与一个变换群同构。有限集合到自身的一一映射称为置换，n个元素的集合的全体置换做成的群称为n次对称群，记作Sn。设G是一个群，a∈G，规定对于正整数m，(a-1)=a，a=e，则对任何整数n，a有意义。设G是一个群，如果存在a∈G，使得G={a|n为整数}，则称G为循环群，记作G=(a)，a称为G的一个生成元。设G=(a)，如果a的阶无限，则G与全体整数在加法运算之下做成的群同构。如果a的阶为正整数n，则G与模n的剩余类在加法运算之下做成的群同构。设G是一个群，H是G的子集，如果H对于G的运算也做成一个群，则称H是G的一个子群。设H是群G的一个子群，对任意的a∈G，定义aH={ah|h∈H}，Ha={ha|h∈H}，aH和Ha分别称为子群H的一个左陪集和右陪集。若G是有限群，则H的左、右陪集的个数都等于|G|/|H|。从而有限群G中每个元素的阶都是G的阶的因子。设H是群G的子群，如果对任意的a∈G，aH=Ha，则称H是G的正规子群，或不变子群。设H是G的一个正规子群，H的左陪集全体记作G/H，对任意的aH，bH ∈ G/H，定义 (aH) (bH) = (ab) H，则G/H也做成一个群，这个群称为G的一个商群，映射π： G→G/H，a→aH，是一个满同态。设φ是群G1到群G2的同态，Kerφ= {a∈G1|φ(a)=e}称为φ的核。φ(G1)={φ(a)|a∈G1} 称为的象，Ker是G1的正规子群，(G1)是G2的子群，并且(G1)≌G1/Kerφ。

一种重要的拓扑不变性质。可仿照线性空间的对偶空间的定义方式引入上同调群。若K是一个n维单纯复形，Cq(K)是q维整系数链群，则同态c：Cq(K)→Z(整数加群)称为K的一个q维上链。对于任意两个q维上链c和d，它们的和是这样的上链，它在任意xq∈Cq(K)上取值：

所有q维上链在上述加法下成为一个交换群，它就是同态群Hom(Cq(K)，Z)，称为K的q维上链群，记为C(K).为区别起见可把原来的链群Cq(K)称为下链群。对于原来的边缘同态可用对偶同态来定义上边缘同态算子，设：

定义δ：C(K)→C(K)，对于K的q维上链c，δc是一个q+1维上链，它在任意xq+1∈Cq+1(K)上取值为：

从而δ°δ=0(或写成δ°δ=0)。由此可定义C(K)的子群：

分别称为q维上闭链群与上边缘链群。商群：

称为复形K的q维上同调群，这些群中元素分别称为上闭链、上边缘链与上同调类。相应原来的同调群可称为下同调群。

设f：K→L是单纯映射，f={fq：Cq(K)→Cq(L)|q∈Z}是这单纯映射诱导的链映射，fq的对偶同态f：C(L)→C(K) (q∈Z)定义为，对于任意c∈C(L)，f(c)是K的q维上链，在K的q维链xq上取值(f(c))(xq)=c(fq(xq)).它满足δ°f=f°δ，称f为上链映射，因此f诱导出上同调群之间的同态：f：H(L)→H(K) (q∈Z)(注意与f：K→L方向相反).同样地，可研究链同伦、连续映射用单纯逼近定理得到的诱导同态和类似于下同调群之间诱导同态的性质，所以上同调群也具有拓扑不变性、同伦型不变性.设K是n维单纯复形，其上、下同调群H(K)与Hq(K)的秩分别记为R与Rq，它们的挠子群分别记为T(K)与Tq(K) (q∈Z)，则上、下同调群之间有关系：

其中T-1(K)理解为零群。这表明上同调群由下同调群完全决定。