集合论公理系统(axiom systems for set theory)公理集合论的基础部分。如同平面几何中的点、线、面一样，集合是一个不加定义的原始概念。为了克服罗素悖论，人们试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。第一个常用的公理系统是策梅洛和弗伦克尔等提出的Z-F集合论公理系统。这个系统中只有一个非逻辑二元关系符号“∈”，非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离公理模式、替换公理模式、正则公理，再加上选择公理就构成Z-F-C系统。利用公理可以定义出空集、序对、关系、函数等集合，还可以给出序关系、良序关系、序数、基数，也可以给出自然数、整数、实数等概念。集合论中有关集合的性质，在公理集合论中都可以得到证明。公理系统中还可以证明公理之间的相对和谐性和独立性，例如，柯恩于1960年创立公理集合论中的力迫法，并用来证明Z-F-C系统与连续统假设独立。公理集合论发展很快，马丁公理、苏斯林假设等新公理新方法已被广泛使用，组合集合论、描述集合论、大基数、力迫法的研究已经渗透到数学的各个分支。

集合论公理系统是集合论的一组特定的公理系统，在集合论公理系统中，集合是一个不加定义的原始概念，集合和属于关系“∈”是通过公理来刻画的，虽然每条公理都不是借助于直观而是借助于严谨的形式语言加以刻画的，然而公理的背景都是很深刻和直观的，它们来源于康托尔(G.F.P.Cantor)的集合论，是从经典集合论中整理和抽象出来的基本原则.每一公理都刻画集合的某一基本性质。把某些公理放在一起组成刻画集合特征的若干基本原则，就称为集合论的一个公理系统。公理系统的选择不是惟一的，但是应该遵循一些基本原则。如系统的相容性(协调性)、完备性以及独立性等要求。1908年出现两个著名的公理系统，这就是策梅洛(E.F.F.Zermelo)的公理系统和罗素(B.A.W.Russell)的类型论，前者经斯科伦(A.T.Skolem)、弗伦克尔(A.A.Fraenkel)的改进与补充，成为最易于理解、影响最广的一个系统，被称为ZF系统。1925年，冯·诺伊曼(J.von Neumann)又提出一个系统，后经贝尔奈斯(P.Bernays)、哥德尔(K.Go¨del)修改形成GB系统(亦称NGB系统)，除上述两个著名的系统外，还有奎因系统、王浩系统、阿克曼系统、莫利和斯科特系统。

建立众多集合论公理系统的背景是在康托尔集合论中包含着深刻的、丰富的、新的概念和方法，悖论的发现促使人们借助于公理化方法，以期排除集合论中已知的悖论，并系统地整理康托尔的理论和方法，评价集合论公理系统的科学标准是：

1.能够描述康托尔理论的丰富内容，尽可能多地建立康托尔理论中已有的定理。

2.能够避免已经发现的悖论。

3.便于解决集合论中尚未解决的问题，主要是连续统假设和选择公理。

4.系统的协调性、独立性、完备性以及是否便于理解和表达等。

集合这个概念是非常基本和自然的，并且自古以来在一些数学著作中就已经使用。然而，人们通常把集合创始人归功于19世纪中期德国数学家康托尔(G.Cantor)，因为他对集合论作出巨大贡献。在集合论发展的开始阶段，康托尔并不明显地从公理出发来讨论集合论，可是，剖析康托尔集合论中的许多证明便知，几乎他所证明的一切定理均能从三个公理得出，这三个公理是：

①外延公理：如果两个集合中各个元都是相同的，则它们相等。

②抽象公理：任给一个性质，都有一个满足该性质的客体所组成的集合。

③选择公理：每个集合都有一个选择函数。

但是，毛病却出在抽象公理上。1903年，英国哲学家和数学家罗素(B.A.M.Russell)发现“由不为自身的成员这一性质的所有客体的集合”会导出矛盾来，这就是著名罗素悖论，由于悖论在推动公理化发展方面有重要作用，在这里给出它的推导，为了便于符号表述，先引进一个表示属于关系的二位谓词∈，如“x∈y”，读作x属于y，或者x为y的元(或元素、成员)，或者x在y中，再使用已熟悉的数理逻辑符号，则抽象公理可表为：

其中， 是不以y为自由变元的公式(公式的定义下面给出)，为了得出罗素悖论，取 为“x不为x的成员”，即 ．于是，得到抽象公理的一个特例：

在(2)中取x=y，可得

而(3)等价于 ，即导出矛盾。由此可见，这个简单推导对集合论的公理基础有深远影响。它表明了把(1)作为公理是承认得太多了。如果坚持朴素的逻辑，便不能在自身不矛盾的方式下坚持每个性质均存在一个具有该性质的客体构成的集合。

由于罗素悖论对抽象公理的巨大冲击，蕴育着一个新的更加完善的公理即将产生。1908年德国数学家策墨勒(E.Zermelo)提出了“子集公理”，也称为“分出公理”，它允许从给定集合中分出满足某种性质的客体并且恰好由这些客体组成一个新集合．对于(1)，子集公理的精确形式表为：

其中y不为的自由变元，由(1)到(4)的改变看来是微小的，然而却是十分有效的。(1)无条件断言集合的存在，而(4)完全是有条件的，这个条件称为入集条件，首先要给出集合z，然后才能断言子集y的存在。可见，子集公理能避免悖论，从而使公理化集合论得以存在和发展。

集合论与其它学科一样，也有自己的目标语言，该语言的符号可分3类：常元符，变元符和数理逻辑符号．

①常元符号：有三个，它们是隶属关系符∈，空集符∅，相等符=。

②变元符号：A，B，C，…，R，S…为集合变元，而x，y，z，…为以集合或个体为值的一般变元，有时还标出足码或肩码。

③数理逻辑符号：联结词，量词以及标点符。

与此同时，也给出常用到的元语言符号，它们是永真蕴涵符，永真等价符，定义符：=，用粗体字母u，v，w，…表示以目标语言的变元x，y，z，…和常

元符∅为值的元语言变元；用粗体字母P，Q，…以及希腊字母Φ和Ψ表示以目标语言的原始公式为值的元语言公式。

称上述目标语言中三类符号的有穷序列为表达式，根据其结构又分别定义为原始原子公式和原始公式。

公理集合论避免悖论，使集合论得以存在和发展，集合论的公理系统，本章给出了8个公理，它们是：

外延公理：具有相同的各成员的两集合是相等的。

子集公理：存在由集合A中满足某种性质的那些元素构成的集合B，称B为A的子集。

偶集公理：存在由集合A、B构成集合C。

联集公理：存在由集合A的成员的成员构成集合C。

正则公理：每个非空的集合，都有一极小元。

无穷公理：有一归纳集的存在。

幂集公理：存在由集合A的所有子集构成的集合B。

此外，该公理系统还有两个公理：代换公理，选择公理。