释义
零值定理为介值定理的推论.又名零点定理或勘根定理.其内容为：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a，b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ
几何意义
在[a,b]上连续的曲线，如果f(a)*f(b)<0，则此函数与X轴在[a，b]内至少相交于一点.
证明过程
不妨设f(a)<0，f(b)>0.令E={x|f(x)<0，x∈[a，b]}
由f(a)<0知E≠Φ，且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，存在ξ=supE∈[a，b].
下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0，f(b)≠0，故此时必有ξ∈(a，b)）.
事实上，
(i)若f(ξ)<0，则ξ∈[a，b).由函数连续的局部保号性知存在δ>0，对x1∈(ξ，ξ+δ)：f(x)<0→存在x1∈E：x1>supE，这与supE为E的上界矛盾；
(ii)若f(ξ)>0，则ξ∈(a，b].仍由函数连续的局部保号性知存在δ>0，对x1∈(ξ-δ，ξ)：f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ这又与supE为E的最小上界矛盾.
综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0.
我们还可以利用闭区间套定理来证明零点定理.
定理应用
该定理广泛应用在二次函数根的分布习题中.
参考资料
最新修订时间：2023-05-15 19:35