数学中，霍赫希尔德同调（Hochschild homology）是环上结合代数的同调论。对某些函子也有一个霍赫希尔德同调。这是以德国数学家格哈德·霍赫希尔德（Gerhard Hochschild）提出的。

设k是一个环，A是一个k上结合代数，M是一个A上双模。我们记为A在k上的n重张量积。给出霍赫希尔德链复形是:

边缘算子定义为：

这里对所有1≤i≤n-1，ai∈A，而m∈M。如果我们令

则 b ° b = 0，所以 (Cn(A,M),b) 是一个链复形，叫做霍赫希尔德复形，其同调是A系数取M的霍赫希尔德同调，记作Hn(A,M)。并记HHn(A)=Hn(A,A)

映射di是使模 Cn(A,M) 成为 k-模范畴中的单纯对象的面映射（face map），也就是一个函子Δo→k-mod，这里 Δ 是单纯范畴（simplicial category）而 k-mod是k-模范畴。这里Δo是Δ的反范畴。退化映射（degeneracy map）由 si(a0⊗···⊗an)=a0⊗···ai⊗1⊗ai+1⊗···⊗an定义。霍赫希尔德同调是这个单纯模的同调。

对含单位元代数A与B，存在自然同构HHn(A⊕B)=HHn(A)⊕HHn(B)。

设M*=Hom(M,)，M*为A双模，定义为(afb)(m)=f(bma)。

Hn(A,M*)=(Hn(A,M))*

特别地，有

HHn(A)=HHn(A)*

H0(A,M)=M/[A,M]。

单纯圆周是有限带基点集合范畴 Fin* 中一个单纯对象，即一个函子 Δo → Fin*。从而，如果 F 是一个函子 F: Fin → k-mod，通过将 F 与 复合，我们得到一个单纯模

这个单纯模的同调是函子 F 的霍赫希尔德同调。如上交换代数的霍赫希尔德同调是当F是 Loday 函子的特例。

有限带基点集合范畴的一个骨架由对象

给出，这里 0 是基点，而态射是保持基点的态射。令 A 是一个交换 k-代数，M 是一个对称 A-双模。Loday 函子 L(A,M) 作用在 Fin* 中的对象由

给出。态射

送到态射 f*

这里

而bj= 1 如果f(j)=∅。

一个交换代数A的系数取一个对称A-双模M的霍赫希尔德同调是与复合

相伴的同调，这个定义与上面的定义相同。