非线性力学是一门研究物体的几何非线性和物理非线性的科学，它广泛地存在于自然世界。 动力学问题一开始就是非线性的，如用牛顿运动定律描述的行星运动微分方程。但历史上专门用非线性力学这一名词，还是1930年代的事。苏联的非线性振动理论学派(创始人Mandel'stam, Palalexi，以及作出重要突破的Andronov)用非线性力学这词代表非线性振动，如Krylov,Bogoliubov1937年所写《非线性力学引论》。发展到最后，这种非线性力学几乎包括了力学的大部分。

首先，经过200年的积累，通过对压杆失稳、非线性振动和三体问题等典型非线性问题的研究，非线性力学已积累了相当的认识和理论。例如，庞加莱从三体问题的研究，已认识到在非线性系统中，一种我们觉察不到的起因可能产生一个显著的、我们决不会看不到的结果。

其次，当时的工业和生产，已提出大量重大问题，迫切希望解决。一是飞行跨越声障的问题，二是航空采用的薄壁构件的行为，三是新材料，如塑料、纤维等的出现和应用。这些需求都提出了大量的非线性力学问题。跨越声障要了解激波，采用薄壁构件要解决大变形屈曲，使用新材料要遇到非线性物性。这些问题，往往与线性化了的问题有根本性质上的不同，因此，不论是处理工具还是基本概念都要靠拼搏，去开拓、创新。

因此，在本世纪上半叶的物理学革命的大潮中，看起来处于旁观地位的力学，一方面开拓了航空等大型新兴工业，另一方面，继承着欧拉、庞加莱等人的传统，率先向非线性领域突进了。当时，大概几乎还没有人意识到，这个突进，在本世纪后半叶竟发展成了超越牛顿开始的机械论、又超越当时的物理学革命家们开创的还原论的一种新的自然观。

当前，社会和产业发展面临的迫切问题，或许可以概括为：可持续发展、国家在世界经济中的竞争力、重大工程寿命预测和自然灾害预报等。如何解决这些问题，除了社会因素之外，大家或许会想到先进的信息、材料和生命科学技术。但是，如果稍加注意便会发现，问题主要涉及的是宏观物质世界的运动，特别是它们的运动模式的变化。例如，我们之所以关心可持续发展战略，一个重要原因，是不希望生存环境的负荷超过某个临界状态，以便我们能生存于良性循环之中。又如，构成国家竞争力的要素固然很多，但突破常规（可比拟为非线性外推）的硬软件工程技术，却依然是竞争力的核心。如在本世纪上半叶构成西方军力、生产力重要部分的航空业，就曾密切依赖于上面引述过的声障、薄壁件、新材料三方面的突破。因此，以宏观物质的多层次运动为主要研究对象的非线性力学及其应用，将会对我们的社会发展和生产起很大的作用。

举一些更具体的典型例子，也许会更形象。如：起飞重量为数百吨，机体尺寸为半个足球场大小的民航机，虽然乘客都能清楚看到机翼的明显颤动和位移，但它却在气体中安全地飞行。反面的例子，如大跨度的桥梁，在风载下坍塌是时有所闻的。1940年全长1.6公里，列为当时世界第三的美国Tacoma大桥，在大风下激烈振荡，坍塌。其原因就是设计师不了解风和大桥的非线性相互作用，只按静载设计造成的。不幸的是，这类事故至今仍未能完全消除。美国一座数百米高的电视塔突然倒塌，就是一例。

面对未来，待解决的重要问题更多。重大工程，如水坝、机组运行了多年；或大型武器，如战略武器贮备了多年，它们还能安全可靠运行多久？什么时候到了临界状态，怎么预先测知？再如，空天飞机等新型飞行器，面临燃料在超声速流动状态下的混合和点火，对于流速超过了声速的流动，混合规律是什么呢？还有，对于自然灾害频繁的我国，我们能在多大的可靠程度上预报地震、台风、洪水等重大自然灾害，等等。这类社会和科学发展中的重大的、未解决的问题，不胜枚举。

归纳各种各样、大大小小的应用，典型化的非线性力学问题，或者可以举以下典型问题为例：

三体问题

1887年瑞典国王奥斯卡二世（OscarⅡ）悬赏2500克朗，征求解答：太阳系是否是稳定的？例如某个星球是否会与太阳相撞。众所周知，太阳系有九大行星，问题是十分复杂的。其中所含的基本问题是，三个质点在万有引力作用下的运动，简称三体问题。其困难在于给定初始位置和速度，并不能像机械论判定的那样，确定以后任意瞬时的位置与速度，从而确定是否二个质点会相撞等。

屈曲

1744年欧拉研究过细杆在轴向力压缩下的变形。该细杆在轴向力较小时保持轴向变形，但当轴向载荷超过某一临界值后，压杆变形倾向于其一侧拱曲。这种现象被称为压杆屈曲或解的分叉。板、壳等一大类构件在受载时，均会发生这种偏离原对称平衡位置的不对称变形。因此，广义上它是弹性系统稳定性的问题。它的特点和难点在于，从一个对称平衡变形态中，怎么会又冒出另一个非对称的屈曲模态，屈曲以后，什么变形模态是最可能的。

非线性振动

振动是极常见的现象。大家都熟悉简谐振动，特别是通过富氏分析，了解了基频振动和高频分量的作用。但到了非线性振动，一系列完全不同的新现象出现了。其中由负阻尼引起的自激振动——系统靠内部维持振动，和次谐波共振（分频）——系统外部强迫激励几分之一的频率振动，最引人注目。不断分频而导致混沌，把确定性动力系统和随机统计结合了起来。

孤立子

上世纪30年代，J.R.Russell在英国一条运河中，骑马追踪观察到一个突起的水峰能长时间维持其形状和运动速度，沿河道持续行进，被称为孤立波。二次大战后，费米等人计算非线性弹性弦，发现类似的现象。到60年代，Zabusky和Kruskal才指出这是一类由非线性和色散的强耦合，形成的非常稳定的、即使碰撞也不改变形状的、像粒子一样的波结构，称为孤立子。它表明在非线性（力学）现象中，除了分叉和不确定性解的另一个侧面，即非常有组织的结构。这个力学理论，在20年后，竟成了远距离光纤通讯的核心概念。

激波或叫冲击波

在连续的流动中，当质点运动速度超过物质中的声速时，连续的流动会变成不连续的，也就是压力、速度、密度都会形成一个突跃。然而激波的出现不是预先给定的，它是强非线性造成的一个自由界面，飞行体在这种情况下遇到的麻烦就叫“声障”。二次大战期间，美国洛克希德公司新造的战斗机，当时速为0.8声速时，曾机毁人亡。事后检查，局部流速超过声速，激波不仅减弱升力，而且造成整机强烈振动而失去平衡。后来发现了在固体中，甚至在交通车辆流中，激波也起着重要作用。

湍流

湍流被称为是经典物理学中的最后的疑难。湍流问题难在哪里？其关键是，它是一个真正的“多体”问题。例如，其自由度可用雷诺数的9/4次方估计，即使雷诺数为104，其自由度已高达109，相当于计算机能力的上限。在湍流中，各种不同空间和时间尺度的大小旋涡相互嵌套着，能量在其间传输。强非线性相互作用，使得难以将看似有序的大尺度拟序结构与“混乱”的小尺度结构分割开来。湍流既是复杂流动向我们的挑战，也是长期以来人们窥视复杂运动普遍规律的一个窗口。

破坏

容易想象，固体破坏的物理本质，是从原子键的断开，到宏观固体的分离的全面展示。正因为如此，它跨越了从原子间距（Å）到宏观工件（mm～m）之间107～1010的跨度，因此，其间的复杂性，可与湍流相比。以至，钱学森把它列入连基本概念还不清楚的一类问题。有时候，忽略细节的宏观处理，如伽里略开始的强度理论，能提供一些可信的结果。然而，有时，一些微观细枝末节却又牵一发而动全身，造成“蝼蚁之穴，溃堤千里”的惊人效果。多层次的非线性相互作用，在这里布置了一座迷宫，我们尚未找到合适的通道。

上面所列的几个问题，决不是非线性力学的全部，而仅是几个示范例子，它表明的共同特征，可以概括为以下几点：

局部之和不等于整体

因此不可能把对整体的认识，简单还原为对若干局部的认识；另一方面，大量单元按某些简单规律的多次重复，可能其总效应并不简单。

不确定性

或者称确定性的随机行为，混沌即是一例。应该讲，在压杆屈曲中所显示的解的分叉，就是这种不确定性的原由之一。湍流则应是这方面一个活的沟通理论与实际的例子。

组织性

强非线性耦合，还会造成与不确定性完全相反的一面，即坚不可摧的有组织的结构，孤立子是这方面的典型范例。

复杂性

由上面几点合起来看，构成了现象谱的复杂性，而且不同特征或模式间的转换，由某种底蕴暗流所控制，表现上有突变性。

可能来自三方面：非线性、非平衡、多层次。

因此，站在世纪之交的人们，面临着自然观，从机械论，进而到还原论，再进而到非线性演化的发展。周光召在1995年的科学大会上讲，我们“看到的将是与牛顿，爱因斯坦创建的决定性的、简单和谐的模式不同，而是一个演化的、开放的、复杂的世界，这是一幅更接近真实的世界图景。”在这样一种观察中，非线性力学，曾起过突进作用。半个世纪以前，冯·卡门的大声疾呼“工程师与非线性问题拼搏！” 已成为大批工程师和科学家，从航空、航天到大型土木和海洋工程，从气象预报、地震预报到污染控制和生态环境保护领域的协同行动。但是，核心困难往往卡在强非线性耦合作用，及其引起的突变性问题上。显然，非线性力学是理论和实践，科学与工程的一个关键交汇点。因此，希望科研领导部门认识到，非线性力学的研究，是推动我国工程和科学发展的一种有长远影响的内在动力，予以重视和支持。

最后，应该强调，在近代史中，中国人只在少数学科，对近代科学有记入史册的贡献，非线性力学就是一个“中国人最有成就的学科”。（见钱伟长引林家翘语，《力学进展》1983.13.P117）。如周培源对一般湍流的模式的研究，钱学森的跨声速流相似率和壳体非线性失稳理论，钱伟长的扁球壳跳跃变形理论，郭永怀的奇异摄动法（PLK法——庞加莱，莱特希尔，郭永怀方法）等。因此，中国的非线性力学研究者，在国家和社会的需要提出如此重大的一些非线性力学问题的时候，在自然科学新观点又滋生于一大类非线性力学问题的时候，理应继承力学界前辈的传统，勇于创新，勇于开拓，做出符合时代要求的贡献。