韩希愈出身嘉州（今朝鲜平安北道
云田郡嘉山里）吏，擅长骑马射箭，有胆识谋略。曾经和乡亲们一起放火烧山打猎，韩希愈骑着马，在火中穿梭如同飞一般。人们相互看着都惊愕不已，韩希愈笑着说：“大丈夫陷阵杀敌，连死都不怕，何况是这呢？”起初被补任为队正，多次升迁后做了大将军，跟随
金方庆讨伐珍岛、耽罗的
三别抄，都立下了战功。在
元日战争中，金方庆让韩希愈做先锋，双方短兵相接，韩希愈赤手空拳夺下敌人的兵器，手部受伤血流不止，于是奋力杀敌斩杀了数人。
至元二十四年（1287年），韩希愈被任命为副知密直司事。当时，
忠烈王听说元朝爆发
乃颜之乱，将要出兵助战，赐给韩希愈虎头牌，让他担任右翼万户。韩希愈率领军队出发，听说
元世祖已经擒获了
乃颜，就停止进军返回，后来世祖赐给他双珠金牌，授任他为帐前万户。
至元二十七年（1290年），韩希愈升任判密直司事。
乃颜的同党
哈丹侵犯高丽，元朝派遣薛阇干和那蛮歹大王分兵前来救援。高丽的军队先与薛阇干一同行进，在燕岐地方打败了哈丹。不久，哈丹的精锐骑兵又来对阵，那蛮歹大王后到，因为遗憾没有参加燕岐之战，想要与叛军交战。叛军中有一个勇士，射向元丽联军，每次射箭都有人倒下。韩希愈手持长矛跃上马背，突入敌阵，叛军退避，他扼住那个勇士，将其斩首，用长矛挑起他的首级向叛军展示，叛军士气丧失。元丽联军乘胜追击，大败叛军，叛军卢的父子等大约两千骑兵冲破包围逃跑。于是元丽联军班师回朝，驻扎在石破驿，那蛮歹派人对薛阇干说：“叛军首领还没有擒获，不能不追击。”薛阇干说：“如果有圣旨就可以，何必穷追不舍？”韩希愈等人派人献上俘虏。薛阇干军令严肃，士卒都感到震慑，所经过的地方秋毫无犯，两次交战都取得胜利，都是他的功劳。忠烈王命令韩希愈追捕剩余的叛军，不久又召他回来，让他留镇江都，又出任东北面都指挥使。元世祖任命韩希愈为怀远大将军，赐给他三珠虎符、弓箭、玉带、一锭银子、一面鞍，来奖赏他的战功。
至元二十九年（1292年），韩希愈担任知佥议府事，成为镇边万户。忠宣王当时还是世子，住在燕邸，元贞元年（1295年），校尉金臣甫向忠宣王申诉说：“我当初跟随韩希愈的女婿洪绥来到燕邸，韩希愈认为我背叛洪绥而投靠世子邸下，所以欺凌虐待我的妻子儿女。韩希愈是什么人，难道不知道有世子您吗？”忠宣王怀恨在心，将此事告诉忠烈王，剥夺了韩希愈的官职。忠烈王命令赵仁规等人审讯他，让巡马召见韩希愈。韩希愈正与客人饮酒，对来人说：“我没有罪，为什么要让巡马来召我？”于是继续饮酒如同平常一样，巡马回去报告。忠烈王大怒，命令巡马和二十多个卫士把他捆绑押来，收走了他所带的虎符。韩希愈性情刚烈，始终不屈服，于是被流放到祖月岛。韩希愈多次建立军功，在高丽国很有名望，当时的人都为他感到冤屈。
大德二年（1298年），忠宣王即位，韩希愈被任命为守司空、中京留守、开城府事、商议都佥议会议都监事，不久改任赞成事、判版图事。万户印侯本来以兄长之礼对待韩希愈，看到韩希愈十分贫寒，请求国王赐给他几百斛粮食。后来印侯的门客
裴廷芝犯法，韩希愈想要惩治他，印侯说：“你忘记了我的恩德吗？”韩希愈发怒，拔出佩刀，瞪着印侯走上前。中赞洪子藩在座，多次给裴廷芝使眼色，裴廷芝抢过他的刀逃跑，韩希愈追赶不上。有一天裴廷芝到韩希愈那里谢罪，韩希愈说：“如果不是你，我差点杀了印侯。”于是印侯与韩希愈反目，在大德三年（1299年）诬告他谋反，把他流放到海岛，不久被召还。忠烈王派遣使者前往元朝，为印侯诬告韩希愈一事进行辩解。于是元朝带走韩希愈，恰逢忠烈王入朝，上奏了韩希愈和印侯谁是谁非，才释放了韩希愈，让他回国。不久，韩希愈被任命为佥议侍郎赞成事、判军簿事，加任重大匡、佥议中赞，后来被任命为咨议都佥议中赞，大德七年（1303年）改任右中赞。宦官李淑从元朝奉御香而来，命令宰枢在宫门集合，说：“站在左边的是与中赞洪子藩亲近的人，站在右边的是与韩希愈亲近的人。”当时韩希愈掌权，忠烈王倚重他，所以两府的人都站在右边。大德九年（1305年），洪子藩去位，韩希愈升任左中赞，称为首相。同年跟随忠烈王入朝，翌年七月十三日卒于元朝。
韩希愈自认为出身行伍，官位却做到宰辅，因此对忠烈王感恩戴德，一味顺从忠烈王，在忠烈王父子相争时，几乎从未不规劝进谏。所以等到忠宣王夺权后，视韩希愈为忠烈王派，将其子韩俭放逐嘉州。