驴桥定理(
拉丁语为Pons asinorum),也称为等腰三角形定理,是在
欧几里得几何中的一个数学定理,是指
等腰三角形二腰对应的二底角相等。等腰三角形定理也是
欧几里得的《
几何原本》第一卷命题五的内容。
有关其名称驴桥定理的由来有二种:一种是《几何原本》中的示意图即为一座桥,另外一种比较广为大家接受,是指这是《
几何原本》中第一个对于读者智力的测试,并且做为往后续更困难命题的桥梁。
几何学是列在
中世纪四术之中,驴桥定理是在《几何原本》的前面出现的较困难命题,是数学能力的一个门槛,也称之为“笨蛋的难关(Asses' Bridge)”,无法理解此一命题的人可能也无法处理后面更难的命题。照原文
直译,就是“驴桥”,因此,我国也有将此命题译作“驴桥定理”。
无论其名称的由来为何,驴桥定理一词也变成是一种
隐喻,是指对能力或了解程度的关键测试,可以将了解及不了解的人区分开来。
命题5的证法是这样的:已知AB=AC,延长AB到F,AC到G,使AF=AG。引用命题4,易知△AFC≌△AGB,得出BG=CF,∠BFC=∠BGC,注意到BF=CG,再引用命题4,易得△FBC≌△GCB,进而得到∠FBC=∠GCB,于是∠ABC=∠ACB。
命题5在现代的中学课本中是从顶角A引角平分线来证明的,但《几何原本》中,作角平分线是命题9,因此只能用前面的4个命题来证明。上述证法虽然很巧妙,但对于初学者却是一个难关。西欧对此定理戏称为“笨蛋的难关(Asses' Bridge)”,照原文直译,就是“驴桥”,因此,我国也有将此命题译作“驴桥定理”。
欧几里得的证明包括第二个结论,就是若三角形的二腰延伸超过底边,则二腰延长线和底边的夹角也会相等。欧几里得的证明中包括了绘制二腰延长线的
辅助线,但当时的数学家普罗克鲁斯指出他没有用到第二个结论,而且若在三角形内部绘辅助线,会使证明比较简单。欧几里得的证明用到称为SAS的三角形
全等,是几何原本中的上一个命题。
在教科书(例如人教版数学教科书在八年级“轴对称”一章)上常见的作法是作顶角A的
角平分线。此证明方式比欧几里德的简单,但在《几何原本》中命题9才是作角平分线,因此若《几何原本》中在命题5就使用角平分线,会有
循环论证的问题。
3)线段AB=线段AC,线段AX和自身等长,而且∠BAX = ∠CAX,因此依照SAS全等,三角形BAX和CAX
全等,因此可得角B和角C相等。
勒让德在《几何原理》用了一个类似的方式证明,不过令X是线段BC的中点。其证明方式类似,但是会用到SSS全等,而在欧几里德的几何原本未提到SSS全等。
帕普斯在约公元300年用了一个非常简短的方法证明:等腰三角形ABC中, AB=AC, BC=CB, CA=BA, 则三角形ABC与ACB全等(SSS), 故三角形ABC 两底角相等。约1960年,赫伯特·吉伦特编写的程序也得到了相同的证明。