高德纳箭号表示法
数学名词
高德纳箭号表示法是一种专门用于表示极大数值的方法,该方法由著名数学家高德纳于1976年设计并提出。其核心理念深入植根于数学运算递归性质,即幂运算可以视为重复的乘法,而乘法又可以视为重复的加法。在这一独特的表示体系中,箭头的数量具有特定的意义:n个箭头代表着(n+2)级的超运算。这种表示法不仅为描述和理解大数提供了新的视角,也使得对极高阶运算的表达变得更为简洁明了。例如,表达式4↑↑2在高德纳箭号表示法中,代表着进行4的2级超运算,经过计算,其结果为256。
计算
a↑n1 = a
a↑nb = a↑(n-1)a↑n(b-1)
3↑35 = 3↑23↑34
一个箭头
2↑3=2×2×2=8
2↑4=2×2×2×2=16
3↑3=3×3×3=27
a↑b=
很明显,一个高德纳箭头代表
两个箭头
2↑↑3=2↑2↑2(注意:此处要从右往左计算)=2↑4=16
3↑↑3=3↑3↑3=3↑27= =7625597484987
4↑↑3=4↑4↑4=4↑256≈
两个高德纳箭头代表幂塔。
三个箭头
2↑↑↑3=2↑↑2↑↑2=2↑↑(2↑2)=2↑↑4=2↑2↑2↑2=2↑2↑4=2↑16=65536
3↑↑↑3=3↑↑3↑↑3=3↑↑(3↑3↑3)=3↑↑(3^3^3)=3↑↑(3^27)
=3↑3↑3↑3......↑3,其中包含[3^(3^3)-1]个箭头,即7625597484986个箭头
=3^(3^(3^(3^(3^(......)......),共7625597484987层的幂塔,PC计算到从右到左第4层3^1.505416......x10^9391结果溢出不能继续算
a↑↑↑b={a↑↑a↑↑a↑↑......a}b个={a↑a↑a↑a↑......a}^(a^(a^b))={a↑a↑a↑a↑......a}共a^(a^b)个a↑a
={a^(a^(a^(a^(a^(......^a))))).......)}共a^(a^b)层={a^(a^(a^(a^(a^(......^a))))).......)}^a(^(a^b))
四个箭头
a↑↑↑↑b={a↑↑↑a↑↑↑a↑↑↑a↑↑↑a......a↑↑↑a↑↑↑a}共b个a={a↑↑a↑↑a↑↑a↑↑......a}个a,共{a↑↑a↑↑a↑↑a↑↑......a}个a,共{a↑↑a↑↑a↑↑a↑↑......a}个a,...,共{a↑↑a↑↑a↑↑a↑↑......a}个a,共a个a,大括号一共出现b-1次。a↑↑a指的是a的a层指数塔,而a↑↑a↑↑a指的是a的a↑↑a层指数塔,以此类推。a↑↑↑↑b一共有(b-1)包指数塔,每一包指数塔里面有若干座指数塔,前一座指数塔计算结果为后一座指数塔层数,第一包指数塔里有a-1座指数塔,其中第一座指数塔层数为a,第二包指数塔里有(第一包指数塔计算结果减1)座指数塔,其中第一座指数塔层数为a,第三包指数塔里有(第二包指数塔计算结果减1)座指数塔,其中第一座指数塔层数为a,以此类推,一共有(b-1)包指数塔。
葛立恒数
葛立恒数的定义见右边
最下面是g1,=3↑↑↑↑3=3↑↑↑3↑↑↑3=3↑↑↑(3↑↑3↑↑3)
而3↑↑3↑↑3本来就是由7625597484987个3组成的指数塔了。
再来看葛立恒数的第二层,也就是3↑↑↑↑3上面那一层:
g2=3↑↑↑……↑3,(g1个高德纳箭号
以此类推,共64层,葛立恒数每一层中的箭头个数都由前一层得出。所以葛立恒数简单说来就是一个指数塔的指数塔的箭头塔。
葛立恒数曾经被视为在正式数学证明中出现过最大的数,我们只知道它的后几百位数,其中末位数是7。
参考资料
最新修订时间:2024-10-16 14:41
目录
概述
计算
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