魔群（Monster Group）是最大的散在单群，于1973年由Fischer和Griess提出。

首先要谈到的是德国数学家费舍尔（B. Fischer，1936年—）。费舍尔小时候就对数学感兴趣，高中老师用数学来研究物理问题的方法使他深受启发，因此他打算先获得物理学硕士学位，然后再攻读数学博士学位，将来成为应用数学家。1956年，著名数学家拜尔（R. Baer，1902—1979年）从美国来到德国，费舍尔被他做数学的方式深深吸引，于是希望能转变成一位纯粹数学家。他考察了数学的各个部分，开始形成自己的思想，他说：“我常常去图书馆看书，其中有一部分就是分配拟群。”它们不是群，但费舍尔对它们非常感兴趣，因为“在我看来它们显然大概是群”。他是正确的，这引导他找到了由像对换那样作用的运算生成的群。

1971年，费舍尔发表文章《由3-对换生成的有限群I》，通过研究3对合的共轭类（若t，s∈D，则ts的阶数为1、2或3，那么称D为3对合的共轭类）发现3个群，它们与3个最大的马蒂厄群M22、M23和M24有关，故记为M（22）、M（23）和M（24），以Fi22、Fi23和Fi24著称。与马蒂厄群的大小相比，Fi22、Fi23和Fi24要大得多，其中前两个是单群，第三个包含一个1，255，205，709，190，661，721，292，800阶的单群Fi24′，这是当时发现的最大的散单群。

费舍尔进一步研究由{3，4}对换共轭类生成的群，意识到M（22）有可能包含在一个更大的群中。1973年夏，他和妻子完全靠手工计算出这个群的阶为41 5478 1481 2264 2619 1177 5805 4400 0000，暂时记为M22，这就是今天所谓的小魔群（Babymonster Group）F2。9月，他在奥博沃尔法赫举办的关于有限群的数学会议上谈到了这个新群。10月份，第2次会议在比勒费尔德大学举办，费舍尔是那里的教授，自然小魔群成了当时讨论的热门话题。这个群是否真的存在呢，费舍尔着手计算特征标表。

同时，费舍尔感觉到小魔群好像是一个更大的群的对合的中心化子，因为这个更大的群显然跟Fi24有关，他暂时记为M24。这件事发生在1973年末，当时密西根大学的格瑞斯（R. Griess，1945年—）也有类似的想法。于是，他们独立考虑：F2的中心扩张可能导致另一个更大的散单群，它具有一个对合z，满足 CG（z）是康威（J. Conway，1937—2020）群经由一个 21+24阶超特殊群的扩张 C。11月，他们分别宣布了其存在性。尽管存在性的这一迹象非常可信，但大魔群究竟是什么东西，数学家们并没有线索，要证明绝非易事。关于此方面真正的工作于那个月的第一个周末展开了。

需要指出的是，当时费舍尔也确曾考虑过是否存在与Fi23对应的M23的问题，他与剑桥的教授康威谈到这项新的工作，康威把与Fi22、Fi23和Fi24相对应的这三个潜在的群称为小魔群、中魔群和大魔群。当中魔群显然不存在之后，就确定了小魔群和大魔群这两个名称，自此成为了标准术语，这就是我们前面名称的由来。

如果确实存在大魔群，要做的第一件事就是计算出它的阶。费舍尔研究这个问题时正在剑桥访问。他知道大魔群有两个对合的中心化子，利用这些以及汤姆逊（J. Thompson，1932年—）发明的阶数公式，大魔群的阶的计算好像伸手可及。汤姆逊的技巧需要对两个对合的中心化子如何能够相交做详细计算，但即使没有完整的信息，费舍尔也能借此说明大魔群的阶不会大于某个数。进一步的计算说明这个阶一定存在于算术级数中，在他回到比勒费尔德之后，康威利用一台可编程的HP65计算器找到了最小可能的情况，他猜这个数肯定正确，因此马上给费舍尔写信：

亲爱的Bernd，大魔群的大小是……我想你可能已经知道了。

费舍尔不知道，但将其与他已经知道的信息结合在一起，大魔群的阶就不再是一个猜想了。1974年1月的第1周，他在由拜尔在奥博沃尔法赫组织的工作会议上就这个新群作了报告，收录到《报告文集》中，这是首次公开提及大魔群。

同年，费舍尔到英国伯明翰拜访利文斯通（D. Livingstone，1924—2001年），并在那里访问了很长一段时间，他们相处得非常融洽，试图讨论小魔群的特征标表。然而，利文斯通有一种不同想法：对大魔群而言，尽管任何特征标表的第一行都是平凡的，但是剑桥的年轻数学家诺顿（S. Norton，1952年—）和其他人设法计算出第二行可能以196883开头，这个数是大魔群的阶的三个最大素因子的乘积，也是大魔群能够在其中运算的最小空间的维数，因此应该可以先计算出大魔群的特征标表，然后再计算出小魔群的特征标表。于是他们开始了这项伟大的计划。

大魔群的特征标表计算起来很困难，要借助计算机。于是搞程序设计的索恩（M. Thorne）加入了，他非常善于编程，总能在最需要他的时候出现。然而另一方面，1974年的计算机功能与我们今天的相差甚远，他们不得不借用伯明翰大学的大计算机。遗憾的是，其他系每天也需要进行大量计算，因此他们并不能想什么时候用就什么时候用，必须要等到晚上。利文斯通是一个夜猫子，费舍尔也很愿意调整自己的作息规律。这样在伯明翰的那段日子里，他们每天工作16个小时，用了一年多的时间才计算出了大魔群的特征标表。费舍尔回忆说：

我首先算出这个特征标表的前18行，然后就离开了，没有参与从19—44行的计算。可是再往下算时遇到了拦路虎，他们需要我的帮助，因此我又到伯明翰访问了一段时间，建议如何得到更多的特征标。到七八十行之后，利文斯通采用了一种完全不同的方法算出了剩下的全部特征标。

康威、卡瑞茨（R. T. Curits）、诺顿、派克（R. A. Parker）和威尔逊（R. A. Wilson）1985年出版的《有限群的地图》中用了整整8页的篇幅描述了大魔群的特征标表。特征标是群论研究的重要工具，包含群的大量有用信息，在决定群的结构上起着重要作用，揭开了对大魔群研究的新篇章。

到20世纪70年代末，尽管人们又得出关于大魔群的许多信息，但还不知道它存在与否。当辛姆斯（C. C. Sims）和雷昂（J. S. Leon）于1977年早期在一台计算机上把小魔群作为置换群构造出来之后，人们自然地就会问是不是可以用类似的方法构造出大魔群。遗憾的是，对于大魔群，前途还比较渺茫，因为它的极大子群是小魔群的一个完全中心扩张，其指数大约为1020。这样，如果要把大魔群刻画成一个置换群，就必须在这1020个元素上定义置换，而这在当时完全超出计算机的能力，于是只能采用新的研究方法。正所谓山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村，格瑞斯突然在1980年1月14日宣布他构造出了大魔群。康威回忆说：

当我们收到他的卡片的时候，不知道他是如何构造出来的，我们认为他肯定采用了某种新方法。

事实上，早在1976年，格瑞斯在《大魔单群的结构》一文中曾指出满足前面条件的群G（称为F1型群或大魔群型群）的非平凡不可约特征标的次数（degree）的下界是196883，而且很可能正好是这个数（1979年，康威和诺顿在“魔群月光”中也提到了这一点）。诺顿证明，大魔群如果存在，它在196884维空间中就会保持一种代数结构。

受诺顿的启发，1979年末，格瑞斯重新考虑一种可能的存在性证明，其思想是从前面的C出发，选取一个196884维模B，通过在B上定义具有一个对称非退化结合双线性型的交换非结合代数结构，去定义这个代数的一个自同构σ，得到群G=〈C，σ〉。格瑞斯在他1982年的文章《友好巨人》第十二节用了整整一节的篇幅证明了G就是我们想要得到的大魔群F1。

格瑞斯的构造把那个196884维空间分解成了下面三个维数的子空间：98304、300和98280。第一个数98304来自于24维空间中的格莱码；第二个数300是24×24对称矩阵的空间的维数；第三个数98280来自于24维中的李奇格，其中存在与已知顶点密切相关的196560个顶点，形成98280个直接对点。在某种程度上，代数B仅用基本线性代数就能描述，因此可以说G=〈C，σ〉的构造是初等构造。然而，由于当时格瑞斯并不知道G是有限的，更何况CG（z）=C。为此，他利用了有限单群分类理论中的深刻结果与巧妙技巧，特别是高德斯密特（G. Goldschmidt）对具有强闭阿贝尔22子群的有限群分类以及史密斯（S. Smith，1948年—）关于“O2超特殊问题”方面的工作。

1980年1月14日，格瑞斯通过信件宣布自己对大魔群的构造：

我非常高兴地宣布我最近构造了一个有限单群G。无疑，它与我和费舍尔1973年所预言的大魔群F1同构。其构造简洁、清晰，完全靠手工实现，我相当满意。

3月14日，美国基金会新闻发布会就格瑞斯的构造发表评论：

一位科学家在解决一个长期存在的问题方面迈出了重要一步，他成功解决了“散单群”列表剩下的最后两个难题之一。这个科学家就是密西根大学数学系副教授格瑞斯，现为普林斯顿高等研究院研究员。

长期以来，数学家一直在研究的一个问题就是有限单群分类，一旦这个问题得以解决，就解决了有限单群理论中的一个主要问题，就相当于解决了化学中的元素周期表。格瑞斯的工作使得我们大大接近了这一目标，因为好像数学家只剩下一个群要构造了。当最后一个散单群被构造出来时，分类问题中的一个重大漏洞就填补上了。

然而，写下所有的细节还需要用很长时间，格瑞斯直到1981年6月才将其整理成文投出去，经过仔细评审之后，1982年最终发表。他在这篇论文中使用的是“友好巨人”而不是“大魔群”这个词，但这个新名词没有流行起来。

既然大魔群有着如此迷人、复杂的结构，没过多长时间另外两位数学家就也考虑大魔群的构造。一个是年轻的梯茨，1984年他发表《论格瑞斯的“友好巨人”》，说：“在某种程度上我简化了格瑞斯的构造，但是他做了杰出的工作，不利用计算机就把大魔群构造出来当属一大创举。”另外一个对格瑞斯的构造比较感兴趣并最终给出自己构造方法的是康威，1985年他发表《费舍尔-格瑞斯的大魔群的简单构造》，不过他也称格瑞斯的构造是“不朽的”。

1988年，弗兰克尔（I. Frenkel，1952年—）、勒博斯基（J. Lepowski，1944年—）和穆尔曼（A. Meurman，1956年—）在《顶点算子代数与大魔群》一书中利用另一种方法把大魔群作为顶点算子代数的对称群构造出来。顶点算子代数是非常新的东西，虽然几年之前它们已经作为“顶点代数”出现了，但是大多数数学家从来没有听说过。另外，顶点算子并非来自于数学，而是物理学中的弦论———基本粒子的模型。这说明了大魔群与物理学的深刻思想有联系。他们在前言中写道：“我们的主要定理可以解释大魔群的量子场论构造，事实上大魔群是一种特殊弦论的对称群。”虽然他们三人的构造长而复杂，但也有两个优点：一方面，它从顶点算子代数理论的背景下来看相当自然；另一方面，它说明了大魔群和亏格为0的模函数之间的联系，具有非常有趣的性质。

另外，人们仍在寻找适当的计算机构造方法。前文的威尔逊是英国伦敦大学玛丽皇后学院的一位知名教授，主要从事有限群及其相关领域，比如说群表示论、组合群论和能应用到群论中去的计算机技术与算法方面的研究。他借助计算机发现了能生成大魔群的二元域上的两个196，882×196，882矩阵，但从时间和存储空间的角度来看，对这样的两个矩阵进行计算无疑要付出沉重的代价，因为每个矩阵要占十亿字节的存储空间。用威尔逊的话来说：

截止到1998年12月15日，我们已经得到了大魔群的标准生成子，它们是GF（2）上的两个196，882×196，882矩阵，对它们的寻求需要一台奔腾计算机花8小时的时间，而要把它们相乘，则需要亚琛工业大学数学研究所的绝大部分计算机工作约45小时……

亚琛工业大学是德国最著名的工科院校，这里的机械制造、计算机、电学专业闻名世界，所以其计算量可想而知。事实上，所有的这些困难并非完全来自于大魔群的大小，更主要的是由于它没有“小的”表示。

2004年，霍尔姆斯（P. E. Holmes）和威尔逊又利用局部2子群对大魔群给出了一个新的计算机构造，这样它便能由GF（3）上的3个196882维矩阵生成，这些矩阵紧密存储起来，能进行有效计算。

魔群的准确元素个数是808017424794512875886459904961710757005754368000000000，也就是大概8×1053个。太阳系的原子个数也就是大约1057个，仅仅高了两个数量级。如果我们用线性空间和矩阵变换来表示魔群的话，我们至少需要一个196883维的线性空间。

Griess代数

Griess提出了一个名为Griess代数的代数结构，而魔群恰好就是这个代数结构的自同构群。Griess代数的维度是196884，可以恰好刻画了Griess代数的所有对称性。

1979年，Conway和Norton提出了 “魔群月光猜想” （monsterous moonshine ）。

即：存在一个基于魔群的无限维代数结构，通过魔群的不可约线性表示，它恰好给出了j不变量的所有傅立叶系数，而魔群每一个元素在这个代数结构上的作用，都自然地给出了与某个群相关的模形式。

1992年由Brocherds完成证明 ·证明同时包含了数学和物理，其中用到了弦论中的No-ghost定理来构造证明中必不可少的一个代数结构； ·1998年Brocherds由于这个证明获得了菲尔兹奖。 通过这个定理架起的桥梁，数学家们也发现了魔群、模函数和弦理论之间更多的千丝万缕的联系。