黎曼－斯蒂尔杰斯积分(英语：Riemann-Stieltjes integral)是一种
积分，它是
黎曼积分的一种
推广。
定义
和黎曼积分一样，黎曼－斯蒂尔杰斯积分的定义依赖对区间分割的定义。
区间的分割
一个
闭区间[a,b]的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列 。每个闭区间 叫做一个子区间。定义 为这些子区间长度的
最大值： ，其中 。
再定义取样分割。一个
闭区间[a,b]的一个取样分割是指在进行分割 后，于每一个子区间中 取出一点 。 的定义同上。
精细化分割：设 构成了
闭区间[a,b]的一个取样分割， 是另一个分割。如果对于任意 ，都存在r(i)使得 ，并存在 使得 ，那么就把分割： 称作分割 的一个精细化分割。
于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个
偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。
黎曼－斯蒂尔杰斯和
对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f，g关于取样分割的黎曼－斯蒂尔杰斯和定义为以下和式：
和式中的表示，故。
黎曼－斯蒂尔杰斯积分
当注意的是。这两个定义在黎曼－斯蒂尔杰斯积分的情况下，并不完全等价，以第一种定义可推出其存在的积分，必能以第二种定义推出其存在，但以第二种定义方式可推出其存在的积分不一定能以第一种定义的方式来计算。
第一种定义
A是函数f在闭区间 [a,b]上对函数g的黎曼－斯蒂尔杰斯积分，当且仅当对于任意的，都存在，使得对于任意的取样分割，只要它的子区间长度最大值，就有：
第二种定义
A是函数f在闭区间 [a,b]上对函数g的黎曼－斯蒂尔杰斯积分，当且仅当对于任意的，都存在一个取样分割，使得对于任何比其“精细”的分割，都有：
若一个函数 f在闭区间 [a,b]上对函数g的黎曼－斯蒂尔杰斯积分存在，且值为A，则可写作。
与黎曼积分间的关联
若g(x) = x时，f在闭区间[a,b]上对函数g的黎曼－斯蒂尔杰斯积分。即为f在闭区间 [a,b]上的黎曼积分，故从黎曼－斯蒂尔杰斯积分可引出黎曼积分。
参见