设X,Y同是数域K上的线性空间，D是X的线性子空间，T是从D到Y中的映射。如果对每个x∈D和实数α有T(αx)=αTx，则称T是实齐次的，如果对一切a∈K这个关系式都成立，则称T是齐次算子。

可加算子

设X,Y同是数域K上的线性空间，D是X的线性子空间，T是从D到Y中的映射。如果对每个x,y∈D，有T(x+y)=Tx+Ty，则称T是可加算子。

如果对每个x∈D和实数α有T(αx)=αTx，则称T是实齐次的，如果对一切a∈K这个关系式都成立，则称T是齐次算子。

如果T既是可加的又是齐次的，则称T是线性算子或线性映射，D称为T的定义域，常记为𝒟(T)。

线性子空间𝓡称为T的值域（或像域）。当𝒟(T)=X时，称T是X到Y的线性算子。当R(T)=Y时，称T为X到Y上的或满值域的。特别地，当Y=K（或Y是一维线性空间）时，T称为D上的线性泛函。线性泛函是线性算子的特殊情形。

线性运算是加法和数量乘法， 在实数领域像只包含加法和数量乘法二元一次方程就属于线性运算，如y=3x+5。如果是矩阵的加法和数乘运算，就称为矩阵的线性运算；如果是向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算。对于不同线性运算一般有不同的形式，它们满足交换律、结合律、分配律等。