S转换(s-transform)，或S变换是一种时频分析的工具。

S转换(s-transform)，或S变换是一种时频分析的工具。

和其他时频分析工具一样，透过S转换，我们可以同时从时域以及频域观察一个信号的能量分布。

S转换的特别之处在它既保持与傅里叶变换的直接关系，又可在不同频率有不同的分辨率。此外，S转换与小波转换（wavelet transform）有密切的关系，或可视为连续小波转换（continuous wavelet transform）的变形。

S转换的清晰度略优于加伯转换（Gabor transform），而不如韦格纳分布（Wigner distribution function）、科恩克莱斯分布、改良式韦格纳分布（Modified Wigner distribution function）。

一个信号x(t)的S转换为

其中窗函数为高斯窗函数

借着褶积定理

S转换能以频域X(f) 表示，

这里可将看成与的卷积，将以及分别取傅里叶变换可得

逆S转换(inverse S-transform)

S转换可以沿着时间轴方向积分，将可以得到x(t)的频谱 X(f)。推导如下，

利用Gaussian window所包含面积等于1的特性，

因此，沿着时间轴t积分，

这表示S频谱是可逆的，同时也提供一个简单的逆转换。

滤波应用(Filtering)

S转换如同其他时频分析转换，皆可以设计波器来达到消除噪声留下讯号的功用，

利用逆S转换，我们可以设计一个S域的滤波器U(t,f)，对x(t)进行讯号处理

S转换相较于加伯转换，虽在清晰度有较好的改善，但也有其缺点，就是运算复杂度变高，积分的范围会随着的增加而增加。

因此，这里利用上面推导的频谱表示式来推导离散时间S转换

频谱表示式

令

表示取样时间间隔表示取样频率

如果要使用FFT的方式来实作，必须另加条件

首先先对x(t)做傅里叶变换得到 X(f)

接着带入频谱表示式中，

当 m=0 时，S转换就定义成

S转换与加伯转换(Gabor Transform)很相似，

S转换一般式

s(f)是一个相对平缓的曲线，当时，

S转换是一种运算量高的时频分析工具，尤其在低频部分，Gaussian Window宽度变宽，频域分辨率比加伯转换来的好，所以S转换对于低频讯号分析比较有优势。

例如：声音讯号，人耳对高频的部分没有太特别的感觉，但在低频部分却比较敏感，如:中央Do = 262Hz,高八度Do = 512Hz 可以很清楚的听出两个不同的音， 但10000Hz 和 10170Hz对人来说差别不大，再说人耳对3KHz以内的声音最敏感，所以能分析低频讯号就显得重要。

此时，就可以使用S转换，来强调低频讯号，而牺牲高频讯号。

韦格纳分布是时频分析工具中，具有高清晰度的一个，但最大的缺点是有交叉项（cross-term）的问题。若一个信号是由数个信号成分组合而成，那么使用韦格纳分布来分析时就会受到两两信号成分之间的交叉项干扰，这将会产生一些不必要的噪声。

一个信号x的韦格纳分布为

交叉项是在积分中两个x项相乘时产生的。S转换的计算原理与韦格纳分布不同，是直接对进行转换，不会有交叉项的问题。

加伯转换的定义为

我们知道加伯转换是短时距傅里叶转换的一种特殊形式，其中只要把短时距傅里叶转换的窗函数用高斯函数来替代就成了加伯转换；S转换则可视为一种窗函数会随f变化的加伯转换；随着频率的升高，高斯函数在时域上的宽度会越来越窄，使得时域上的分辨率会增加，反之牺牲频域上的分辨率。

加伯转换和S转换原理相同，两者唯一不同的地方就是窗函数的和强度f，基本上都是由短时距傅里叶转换延伸而来；两者共有的好处是不会像韦格纳分布一样会有交叉项；又S转换在低频时的频率分辨率会优于加伯转换。

连续小波转换可以视为将一个信号对小波做相关（correlation）：

而S转换可以视为连续小波转换乘上一个相位项：

而其用的母小波为：