拓扑是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。

设X是一个非空集合，X的幂集的子集（即是X的某些子集组成的集族）T称为X的一个拓扑。当且仅当：

1．X和空集{}都属于T；

2．T中任意多个成员的并集仍在T中；

3．T中有限多个成员的交集仍在T中。

称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,T）。

称T中的成员为这个拓扑空间的开集。

定义中的三个条件称为拓扑公理。（条件（3）可以等价的换为τ中两个成员的交集仍在τ中。）

从定义上看，给出某集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集。这些规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理。

一般说来，一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑。在不引起误解的情况下，也常用集合来代指一个拓扑空间，如拓扑空间X，拓扑空间Y等。

同时，在拓扑范畴中，我们讨论连续映射。定义为：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定义的拓扑）是连续的当且仅当开集的原像是开集。两个拓扑空间同胚当且仅当存在一一对应的互逆的连续映射。同时，映射同伦和空间同伦等价也是很有用的定义。

诱导拓扑(induced topology)是指构造拓扑的一种方法。设f.是集合X到拓扑空间(Y , U)的映射。在X上的所有使得f连续的拓扑中，最粗的拓扑T称为由(Y,U)及f确定的诱导拓扑。实际上，

反之，若f是拓扑空间(X,T)到集合Y上的映射。在Y上的所有使得f连续的拓扑中，最细的拓扑U称为由(X,T)及f确定的诱导拓扑。也称为由f与X上的拓扑确定的Y的商拓扑。实际上，

一致拓扑(uniform topology)是由一致结构诱导的拓扑。设(X，U)为一致空间，T是X的子集，满足：对于任意x∈T，存在U∈U使得U(x) T，其中U(x)={y|(x，y)∈U}。所有这种T组成的集族T是X上的一个拓扑，称为由一致结构U诱导的拓扑或一致拓扑。当由一致结构U诱导的拓扑空间X为紧空间时，则和X的拓扑一致的一致结构是惟一确定的。一致空间是完全正则的，并且完全正则空间具有和它的拓扑一致的一致拓扑。即有下述结果：集合X上的拓扑T为X上的某个一致结构的一致拓扑的充分必要条件是，(X，T)为完全正则空间。

性质1集合X的离散拓扑T是X的最大拓扑，即对X的每一个拓扑T1，均有。

证明 由拓扑T1的定义可得： 对A∈T1，有A∈ P(x)。此外，T是X的离散拓扑意味着T =P(x) ，因此，A∈T，从而由A的任意性可知。

性质2 离散拓扑空间(X，T) 中：

①点x的邻域系是Ux= AX | x∈ A}，即凡是X的包含x的子集都是x的邻域。

② X的每一个子集既开又闭。

证明 对任意的x∈X，有{x}∈P(x)= T，故{x} 是开集。另外，对任意的x ∈ A X，有x∈{x}A，从而由邻域的定义可知A是X的邻域。

设A是X中的任一子集，那么有A∈P(x)=T，即A是开集。另一方面，由X ～ AX可得Ac∈P(x)= T， 故A是闭集。

注： 一般拓扑空间的子集也可能是既不开也不闭的。

性质3 离散拓扑空间(X，T) 中，若AX，则A的导集A' = ，即A中不含有任何一个聚点。

证明 对任意的x∈X，存在x的一个开邻域{x} ，使得{x}∩(A －{x} )= ，从而x不是A的聚点，因此，由x的任意性可得：集合A中不含有任何一个聚点，即A' = 。

拓扑学是数学的一门基础学科，在数学中占有非常重要的地位。而一致空间作为一种特殊的拓扑空间，是拓扑学中一个重要的分支，是连接度量空间与拓扑空间的重要桥梁。是指带有一致结构的集合，是可度量化，可一致化的空间。自 1938 年法国Bourbaki 学派的领导人之一A. Weil 引进以来，一致空间作为一种特殊的拓扑空间，能够定义一致收敛、一致连续、完备性等一致性质的结构。一致空间与拓扑空间和度量空间存在密切的联系，因此一致空间成为联系拓扑空间和度量空间的重要桥梁，在研究它们之间的关系中发挥了强大的作用，也方便了我们通过非标准分析的方法对一致空间的非标准特征进行系统的研究。

定义 1若u是 XxX 的非空子集族，且满足下述条件：

（1）对于任意的 ， ；

（2）若 ，则 ；

（3）若 ，则存在 ，使得 ；

（4）若对于任意的 ，则 ；

（5）若 且 ，则 ，

则称u为集 X上的一致结构，(X,u)称为一致空间。