七面体（heptahedron），是指由7个面组成的多面体。常见的的七面体有六角锥、五角柱、正三角锥柱、Szilassi多面体等多面体。而边长全部等长的七面体是五角柱，有时会称为半正七面体。在所有七面体中，只有正三角锥柱是詹森多面体。

如图1所示，六角锥是指底面为六边形的锥体，由六边形各个顶点向它所在的平面外一点依次连直线段而构成。所有六角锥皆为七面体。

（1）六角锥有7个面、12个边和7个顶点；

（2）如同其他的锥体，对偶仍为六角锥，是一个自身对偶多面体；

（3）六角锥有6个侧面，均为三角形；1个底面，为六边形；

（4）六角锥是凸多面体；

（5）六角锥的欧拉特征数为：F=7，E=12，V=7（X=2）。

如图2所示，五角柱是一种多面体，是柱体的一种，是指底面是五边形的柱体。当它底面是正五边形时，则称为正五角柱，若一正五角柱侧面是正方形，则他就属于半正多面体或均匀多面体，因此有时称为半正七面体。所有五角柱都是七面体。

（1）五角柱有7个面15个边和10个顶点；

（2）五角柱的欧拉特征数为：F=7，E=15，V=10（X=2）；

（3）五角柱有2个底面，均为五边形；有5个侧面，均为四边形；

（4）五角柱的对偶是双五角锥；

（5）五角柱用威廉表示法可表示为：P5；

（6）五角柱是凸多面体。

正三角锥柱为92种Johnson多面体(J7)中的其中一个，可由正多面体中的正四面体（正三角锥）与三角柱于相等大小的三角形面接合而组成。这92种Johnson立体最早在1996年由Johnson Norman命名并给予描述。

Johnson多面体，有译作约翰逊多面体或庄逊多面体，是指正多面体、半正多面体、柱体、反角柱之外，所有由正多边形面组成的凸多面体。他由4个三角形和3个正方形组成。

如图3所示，正三角锥柱具有如下性质：

（1）正三角锥柱有7个面、12条边、7个顶点；

（2）正三角锥柱由4个正三角形和3个正方形组成。

（3）正三角锥柱是凸多面体。

如图4所示，Szilassi多面体是一种凹多面体，是七面体的一种，拓扑结构的环，有7个六边形面，中有六个面是凹六边形。Szilassi多面体每个面都与相邻的面共用边。因此，可用七种颜色来涂满每个相邻的面，是七色定理的下限。它有一个180度的对称轴；它有3组面全等并留下一个未成对六边形而构成的多面体。Szilassi多面体的14个顶点和21个边在一个环面嵌入Heawood graph的四面体和Szilassi的多面体是已知的两个每个面都与其他面共边的多面体。

证明：假设存在正7面体，正7面体的每个面都是正m边形，正7面体的每个顶点连出n条棱（亦即n个面交于同一顶点），显然,n<7。那么，该多面体的面数F=7（定义）。因为两个面交于一棱，所以棱数E=7m/2。因为n条棱交于一顶点，所以顶点数V=2E/n=7m/n。根据欧拉公式，V+F-E=2，所以7m/n+7-7m/2=2。两边同乘以2n并合并同类项，得到10n=7mn-14m。因为等号右边能被7整除，所以等号左边一定能被7整除，从而n=0或7（或7的其它倍数），而这都是矛盾的。

因此，正7面体不存在。

问题：将一个七面体沿着它的棱剪开，至少需要剪几刀，才可以将它展开成一个平面图形？

从正方体入手，我们知道，正方体一共有6个面，12条棱，将它展开成平面图形后，如果6个面相连，那么共有5条棱连接6个面，另外7条棱必须全部剪开，所以至少要剪7刀。由此，可以将之推广到一般情况：一个多面体，如果有n个面，m条棱，那么将它展开成平面图形，至少要剪[m- (n- 1)]刀。要将七面体展开成平面图形，所剪的刀数与总棱数有关，只要用总棱数减去6就得到所要剪的刀数，所以总棱数不同的多面体，展开成平面图形，所需剪的刀数不同。

从正方体入手来考虑，将正方体截去一个角，可以得到七面体，不同的截法所得七面体的棱数不同。下面的几种截法中棱数都不一样，总棱数分别是12（如图 5）、13（如图 6）、14（如图 7）、15（如图 8），展开成平面图形分别需要剪6、7、8、9刀。

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