对上链c∈△(x)，d∈△(x)及任一
奇异单形σ：△p+q→X，定义上积c∪d为〈c∪d，σ〉=〈c，σθp〉 〈d，σρq〉，作线性扩充成上链，即c∪d∈△(X)，上积运算∪具有双线性，即c∪ (d1+d2) =c∪d1+c∪d2，(c1+c2) ∪d=c1∪d+c2∪d，和结合性即(c∪d) ∪e=c∪ (d∪e)，若1是R的单位元，对X的任一零单形σ0，〈l，σ0〉=1，定义了上链l∈△(X)是上链的上积的单位元，这样△(X)=△(X)成为具有单位元l的分次环，称为X的奇异上链环，若δ为上边缘运算，则δ(c∪d)=δc∪d+(-1)c∪δd，c∈△(X)，d∈△(X)，故可导出上同调群H(X)的上积，[c]∪[d]= [c∪d]，H(X)∪H(X)⊂H(X)分次环H(X)称为X的奇异上同调环。
H(X)具有斜交换性，即a∪b=(-1)b∪a，a∈H(X)，b∈H(X)。若系数环R具有特征≠Z，即对任意非零元r∈R，2r≠0，p为奇数，a∈H(X)，则a∪a=0。
若f：X→Y是连续映射，则f*：H*(y)→H*(X)是
环同态。伦型相同的空间的上积构造是同构的。
设c∈△(X)，σ是X中任一(p+q)奇异单形，定义卡积∩为c∩σ=(c，σθp>σθq，对dimc>dimσ规定c∩σ=0作线性扩张，即得到一个双线性运算——卡积∩：△p(X)×△p+q(X)→△q(X)。上积和卡积之间有关系： 〈c，d∩z〉=〈c∪d，z〉，c∈△(X)，d∈△q(X)，z∈△p+q(X)，此外还有：c∩ (d∩z) = (c∪d) ∩z，l∩z=z，l是单位元。卡积的边缘公式∂(c∩z)=c∩∂z+(-1)∂c∩z，c∈△(X)，z∈△q+q+1(X)，故卡积可导出上同调与下同调群之间的双线性配对∩： H(X)×Hp+q(X)→Hq(X)。
若f： X→Y是连续映射，c∈△(Y)，z∈△p+q(X)，则f△(fc∩z)=c∩f△z，过渡到同调，有f(fa∩b) =a∩fb，a∈H(Y)，b∈Hp+q(X)。
上同调环(cohomology ring )是H*(X；R)上的一种环结构。设X是
拓扑空间，R是有交换幺环。H*(X；R)表示外直和⊕H(X；R)。于是，上积运算使得H(X;R)成为有单位元的环，称为X的系数在R中的上同调环。连续映射诱导出上同调环的同态；上同调环是拓扑空间的
同伦不变量；当两个拓扑空间的各个维数的
上同调群分别同构时，其上同调环未必
同构。因此，利用
上同调环判定两个拓扑空间是否同胚会比上同调群更为有效。
的全体构成的集类，则F是R上的一个环.环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为
布尔环(参见第一卷《布尔代数》)。要把R上的
勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。
欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。
豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为
豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(
吉洪诺夫空间)的概念。
20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年
布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。
此外，美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。