在数学中，同伦（Homotopy）的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。

在同伦变换下保持不变的性质，就称为同伦不变量。 比如亏格（洞眼的个数），欧拉示性数等等。但是维数就不是同伦不变量。

拓扑学家中流传着这么一句俏皮话：“一个拓扑学家分不清面包圈和咖啡杯的差别。”这是因为两者是同伦的，即面包圈可以连续形变成咖啡杯。在施瓦辛格主演的科幻电影《终结者2》里面那个液态机器人杀手，它的每次变化都可以视为同伦变换。 但那次被施瓦性格用枪打爆脑袋不能算同伦变化， 因为这不是连续地形变。同伦是关于映射的等价关系，同伦等价才是关于空间的等价关系。最后举的两个例子更适合在同胚的概念中提及，在此处提虽然从逻辑上讲没错，但也容易让初学者混淆。 建议举不同伦的例子如下：两个映射，一个是圆周到自身的恒同映射，另一个则是自变量在圆周上转一圈时相应的映射的值在圆周上转两圈。举同伦等价的例子如下：“日”字和“8”字。

同伦和伦移的定义由brouwer于1911年给出，虽然它的直观的观念形变（deformation）早在lagrange时代的变分学中已经出现并被使用，或许还可以追溯到更早。

给定两个拓扑空间X和Y。考虑两个连续函数，若存在一个连续映射使得

则称（在Y里）同伦。

换言之：每个参数 t对应到一个函数；随着参数值t从 0 到 1 变化，H连续地从f变化到g。

另一种观点是：对每个，函数H 定义一条连接f(x) 与g(x)的路径：

例一：取, f(x)=1及g(x)=-1。则f与 g透过下述函数在Y中同伦。

H(x,t)=1-2t（注意到此例子不依赖于变数x，通常并非如此。）

注：“在Y中同伦”的说法提示一个重点：在例一中若将Y=R代为子空间，则虽然f与g仍取值在Y，但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。

例二：取及g(x)=0。f描绘一个以原点为圆心之单位圆；g停在原点。f与g透过下述连续函数同伦：

几何上来看，对每个值t，函数描绘一个以原点为圆心，半径1-t的圆。函数间的同伦是（即从 X 到 Y 全体连续函数的集合）上的等价关系。同伦的初步应用之一，是借由环路的同伦定义何谓单连通。

为定义高阶基本群，必须考虑相对于一个子空间的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化，正式定义是：设是连续函数，固定子空间 ；若存在前述同伦映射，满足：

则称 f,g 相对于K 同伦。若取，则回到原先的同伦定义。

给定两个拓扑空间E 与F，我们称之同伦等价（或称具相同伦型），当且仅当存在两个连续映射与，使得：

同伦到E 的恒等映射。

同伦到F的恒等映射。

同胚蕴含同伦，反之则不然，详见以下例子：

例三：

一个平面上的圆或椭圆同伦等价到，即去掉一点的平面。线段[a,b]、闭圆盘及闭球间两两同伦等价，它们皆同伦等价于一个点。

同伦等价是个拓扑空间之间的等价关系。许多代数拓扑学里的性质均在同伦等价下不变，包括有：单连通、同调群及上同调群等等。

同痕是同伦的加细版；我们进一步要求所论的函数和 是嵌入，并要求两者间可用一族嵌入映射相连。

定义： f与 g被称为同痕的，当且仅当存在连续映射使之满足：

对所有，映射是个嵌入映射。

同痕的概念在纽结理论中格外重要：若两个结同痕，则我们视之相等；换言之，可以在不使结扯断或相交的条件下彼此连续地变形。