下鞅_数学术语 - 线报百科mbji.cn

下鞅

数学术语

{Xn，n≥0}与{Yn，n≥0}是随机过程，如果满足下列条件：

基本介绍

鞅可以用于研究公平赌博(公平博弈)，然而，现实生活中的博弈很多时候都是非公平的，此时，就需要借助上、下鞅的理论，上、下鞅可以解决非公平博弈问题。

定义1 与是随机过程，如果满足下列条件：

(1)

(2)

(3) 是的函数。

则称关于是一个上鞅。

定义2 与是随机过程，如果满足下列条件：

(1)

(2)

(3) 是的函数。

则称关于是一个下鞅。

下鞅的性质及证明

定理如果，关于是上(下)鞅，则关于是上(下)鞅。

证明：若，关于是上鞅，则：

进而

即关于是上鞅。

同理，可证关于是下鞅。

Jensen不等式与下鞅的构造

先介绍Jensen不等式，设为一凸函数，即对有

其推广结果为：对

因此，。

同理，。

将X换成Xn+1，然后利用下鞅的性质可得下面的定理。

定理1 如果关于是鞅，为一凸函数，且对，则关于是下鞅。

推论1 如果关于是鞅，对，则，关于是下鞅。

由于绝对值函数和平方函数为凸函数，因此可用任意凸函数构造下鞅。

推论2 如果关于是鞅，对，则关于是下鞅。

注意：函数是关于x的凸函数(convex function)，其中a>0，x≥0．

对任意的非负随机变量X，利用Jensen不等式，于是有

当然，此函数也可用于下鞅的讨论。

鞅分解定理

定理对于任意一个关于的下鞅，必存在过程与，使得：

(1)关于是鞅；

(2)是的函数(n≥2)，且；

(3)。

且上述分解是唯一的。

参考资料

最新修订时间：2023-05-03 21:36

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下鞅的性质及证明

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