不定矩阵是一个数学术语，指的是如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵。

在线性代数里，正定矩阵是埃尔米特矩阵的一种，有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

一个n×n的实对称矩阵是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTz>0。其中zT表示z的转置。

对于复数的情况，定义则为：一个n×n的埃尔米特矩阵(或厄米矩阵)是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有z*z>0。其中z*表示z的共轭转置。由于是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量z，z*z必然是实数，从而可以与0比较大小。

与正定矩阵相对应的，一个n×n的埃尔米特矩阵是负定矩阵当且仅当对所有不为零的（或），都有：

是半正定矩阵当且仅当对所有不为零的（或），都有：

是半负定矩阵当且仅当对所有不为零的（或），都有：

可以看出，上一节中正定阵的等价性质1只需略作相应改动，就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当M是半正定时，相应的Gram矩阵不必由线性无关的向量组成。对任意矩阵，AA必然是半正定的，并有rank()=rank（AA，两者的秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作M=A*A，这就是Cholesky分解。

一个埃尔米特矩阵M是负定矩阵当且仅当M的所有奇数阶顺序主子式小于0，所有偶数阶顺序主子式大于0。当M是负定矩阵时，M的逆矩阵也是负定的。

如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵。

若为半正定阵，可以写作。如果是正定阵，可以写作。这个记法来自泛函分析，其中的正定阵定义了正算子。

对于一般的埃尔米特矩阵，、，当且仅当。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系。类似地，可以定义。

每个正定阵都是可逆的，它的逆也是正定阵。如果那么。

如果是正定阵，为正实数，那么也是正定阵。

一个实矩阵M可能满足对所有的非零实向量x，xTMx>0而并不是对称矩阵。举例来说，矩阵

就满足这个条件。对并且，

一般来说，一个实系数矩阵M满足对所有非零实向量x，有xTMx>0，当且仅当对称矩阵(M+MT)/2是正定矩阵。

对于复系数矩阵，情况可能不太一样。主要看的是怎样扩展z*Mz>0这一性质。要使z*Mz总为实数，矩阵M必须是埃尔米特矩阵。因此，若z*Mz总是正实数，M必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将z*Mz>0扩展为Re(z*Mz)>0，则等价于（M+M*）/2为正定阵。