转置是一个数学名词。直观来看，将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。一个矩阵M, 把它的第一行变成第一列，第二行变成第二列，......,最末一行变为最末一列， 从而得到一个新的矩阵N。 这一过程称为矩阵的转置。即矩阵A的行和列对应互换。

在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。 针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。 无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。 无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵。

直观来看，将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。一个矩阵M, 把它的第一行变成第一列，第二行变成第二列，......,最末一行变为最末一列， 从而得到一个新的矩阵N。 这一过程称为矩阵的转置。通常记为或。

设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i行j列的元素是 ，即：

定义A的转置为这样一个n×m阶矩阵B，满足 （B的第i行第j列元素是A的第j行第i列元素）。记 。

如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。

正交矩阵不一定是实矩阵。实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但是存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。

正交矩阵的一个重要性质就是它的转置矩阵就是它的逆矩阵。

1，一阶矩阵的转置不变

例1，设A为n阶方阵,X=(x1,… ,xn)′，二次型f= X′AX的矩阵为何?

解　因为未假设A对称，所以f= X′AX虽然是n元二次型，但不能肯定其矩阵是A。只有A对称时，二次型f= X′AX的矩阵才是A。

由于一阶矩阵的转置不变,所以(X′AX)′=X′AX,即就是：X′A′X= X′AX。

由此可得:f= X′AX= X′*1/2*(A+ A′)*X。

注意到1/2(A+ A′)是对称矩阵,所以二次型f= X′AX的矩阵为1/2(A+ A′)。

2，在正交矩阵里，

例2，设是n阶正交矩阵,证明(i,j= 1,2,… n).其中Aij为aij的代数余子式。

证明

∵ A是正交矩阵,∴| A| =± 1，且

于是

当A = 1时，(i,j= 1,2,… n)

当A =- 1时，(i,j= 1,2,… n)

故(i,j= 1,2,… n)