《九章算术注》是由魏晋时期数学家刘徽所创作的一部数学著作作品。

作者：刘徽

刘徽（约公元225年—295年），汉族，山东邹平人，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学 理论的奠基者之一。是中国数学史上一个非常伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。

《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃。逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等均是其科学思想的真实体现。刘徽集各家优秀思想方法，并加以创新而用于数学研究，使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化，并上升到了一个新的阶段，他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表，也堪称是世界数学泰斗。

①在数系理论方面

用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；第一次地比较明确地给出了正数、负数的概念，探讨了数系理论的基本元素的问题；还明确阐释了正负数的表示方法（用赤、黑色的相关算具），并解决了正负数运算中与原算具有冲突的问题（比如用黑减赤，即用负减正时候算具上不够减的困境），事实上完善了刘洪的正负数加减方法；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法【按，关于开方术中刘徽是否已经论述了无理方根的存在之问题还有待进一步研究，李继闵先生在1990年的作品《<九章算术>及其刘徽注研究》中认为刘徽在少广章开方术的注中所讲的“以面命之”中的“面”即指所谓的根数。但在吴文俊先生后来主编的《中国数学史大系》丛书（李继闵先生是此丛书副主编）中，则又提出在我国三国时代的数学用语中，“命”字更通常是“命分”一词的简写，另一方面从刘徽注文上下文意来看，即使“以面命之”真的是李先生所说的用“面”来命名这种新数，这里所说的新数也更应该指二次根数，而非我们意义上的无理数。】

②在筹式演算理论方面

先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。

③在勾股理论方面

逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。

④在面积与体积理论方面

用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值仍闪烁着余辉。

二是在继承的基础上提出了自己的创见。这方面主要体现为以下几项有代表性的创见：

①割圆术与圆周率

他在《九章算术·圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。他首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到192边形的面积，得到π=157/50=3.14，又算到3072边形的面积，得到π=3927/1250=3.1416，称为“徽率”。

②刘徽原理

在《九章算术·阳马术》注中，他在用无限分割的方法解决锥体体积时，提出了关于多面体体积计算的刘徽原理。

③“牟合方盖”说

在《九章算术·开立圆术》注中，他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性，并引入了“牟合方盖”这一著名的几何模型。“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分。

④方程新术

在《九章算术·方程术》注中，他提出了解线性方程组的新方法，运用了比率算法的思想。

⑤重差术

在白撰《海岛算经》中，他提出了重差术，采用了重表、连索和累矩等测高测远方法。他还运用“类推衍化”的方法，使重差术由两次测望，发展为“三望”、“四望”。而印度在7世纪，欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题。