二次互反律，是经典数论中的定理之一。在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律（quadratic reciprocity law）是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程之整数解的存在性的定律。

二次互反律是经典数论中最出色的定理之一。二次互反律涉及到平方剩余的概念。 设a，b是两个非零整数，我们定义雅克比符号：若存在整数x，使得，那么就记；否则就记。 在b是素数时这个符号也叫做勒让德符号。

高斯二次互反律：

设p和q为不同的奇素数，则

二次互反律漂亮地解决了勒让德符号的计算问题，从而在实际上解决了二次剩余的判别问题。欧拉和勒让德都曾经提出过二次互反律的猜想。但第一个严格的证明是由高斯在1796年作出的，随后他又发现了另外七个不同的证明。在《算数研究》一书和相关论文中，高斯将其称为“基石”。私下里高斯把二次互反律誉为算术理论中的宝石，是一个黄金定律。 有人说：“二次互反律无疑是数论中最重要的工具，并且在数论的发展史中处于中心地位。”

高斯之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。二次互反律可以推广到更高次的情况，如三次互反律等等。

二次互反律被称为“数论之酿母”， 在数论中处于极高的地位。 后来希尔伯特、塞尔等数学家将它推广到更一般的情形。

二次互反律的一个特殊情形：2永远是型质数的平方剩余，永远是型质数的非平方剩余。

证明：

∴当8n+1是质数时，必有.

再由欧拉准则:

∴2永远是8n+1型质数的平方剩余，其余的可类似证明。

二次互反律揭示了方程 可解和 可解的简单关系。运用二次互反律可以将模数较大的二次剩余判别问题转为模数较小的判别问题，并最后归结为较少的几个情况，从而

在实际上解决了二次剩余的判别问题。然而，二次互反律只能提供二次剩余的存在性，对于二次同余方程的具体求解并没有实际帮助。

二次互反律曾被不少的数学家研究，因此二次互反律的叙述有很多种。要注意的是当时的数学记号并不统一。欧拉和勒让德并没有高斯的同余记号，高斯也不知道勒让德符号。

下文中的p和q总是不相等的正奇质数。

费马曾经证明了（或声称证明了）一系列关于将质数表示成平方和的定理

当且仅当 p=2 或

当且仅当p=2 或

当且仅当 p=3 或

他并没有给出二次互反律的陈述，尽管由此类的定理可以得到–1、±2和±3的情况。

此外欧拉曾经猜想（后被勒让德证明）：

如果那么

如果那么

证明费马的这类命题是导致二次互反律的发现的因素之一。

欧拉在1783年曾经写过（以现今的符号表示）：

1) 如果q≡ 1 (mod 4) 那么q是模p的二次剩余当且仅当p≡r(modq)，其中r是一个模q的二次剩余。

2) 如果q≡ 3 (mod 4) 那么q是模p的二次剩余当且仅当p≡ ±b(mod 4q), 其中b为奇数但不被q整除。

这是二次互反律首次被完整地陈述。欧拉也证明了2的情况。

1801年出版的《算术研究》第131篇的部分，列出了二次互反律的8种情况

第一个完整地给出二次互反律的证明的人是德国数学家高斯。高斯在1796年给出了二次互反律的第一个证明。高斯首先证明了-1和2的情况。作为进行数学归纳法的开始，他证明了±3和±5的情况。他注意到-3和+5的情况较有规律，容易叙述，因此把定理叙述为：

如果 p 是形式为4n+1，那么 p（如果p是形式为4n+3那么-p是模每个为模p的二次剩余（非剩余）的质数的二次剩余（非剩余）。

二次互反律的推广主要是在代数数论中。

例如：高斯考察过四次互反律。在他的首篇论文里他证明了一系列定理，其中最重要的是：如果，那么有解当且仅当，其中a、 b是整数。如果，那么模p的二次剩余必然是四次剩余。

在第二篇论文中，高斯引进了著名的高斯整数。高斯证明了模4余1的质数总能分解为两个高斯整数中质数的乘积、唯一分解定理等其它代数数论的基础定理，并引进了一些基本概念，如范数和单位元。在高斯整数中，四次互反律的叙述十分简单。高斯并且注意到在艾森斯坦整环中，三次互反律最为简单。一部分的原因是高斯整数中1有4个四次方根，而艾森斯坦整数中1有3个三次方根。

其它的推广是在以上整环中的二次互反律。高斯率先研究了高斯整数中的二次互反律。