代数群（Algebraic group）理论是群论与代数几何学结合的产物，可以看成李群理论的推广或者同李群理论平行的一个群论分支。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构;是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

研究多项式方程组在仿射或射影空间里的公共零点集合的几何特性的数学分支学科.换言之，它是研究代数簇的.代数几何与许多其他数学分支有着密切的联系.通常假设代数簇V中点的坐标在某个固定域k中选取，k称为V的基域.V为不可约(即V不能分解成两个比它小的闭代数子簇的并)时，V上所有有理函数(即两个多项式的商)全体也构成一个域，称为V的有理函数域，它是k的一个有限生成扩域.通过这样的一个对应关系，代数几何可以看成是用几何的语言和观点来研究有限生成扩域.

代数几何的基本问题就是代数簇的分类.包括双有理分类与双正则分类(即同构分类).若一个代数簇V1到另一个代数簇V2的映射诱导了函数域之间的同构，则称该映射为双有理映射.设有两个代数簇V1，V2，若V1中有一个稠密开集同构于V2的一个稠密开集，则称V1，V2是双有理等价的.这等价于V1和V2的函数域之间的同构.按这个等价关系对代数簇进行分类就称为双有理分类.分类理论是这样建立的：首先，找出代数簇的双有理等价类;其次，在这个等价类中找到一个好对象的子集，如非奇异射影簇，对它们进行分类;第三步就是确定一个任意簇与这些好的对象相差多远.因为任意特征0的基域上的代数簇都双有理等价于一个非奇异射影簇，所以为实现这三步，人们往往先找一组与非奇异射影簇对应的整数，称为它的数值不变量.例如，在射影簇的情形，它的各阶上同调空间的维数就都是数值不变量.然后试图在所有具有相同的数值不变量的代数簇的集合上建立一个自然的代数结构，称为它们的参量簇，使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时，对应的代数簇也在相应的代数结构中变化。只有代数曲线、一部分代数曲面以及少数特殊的高维代数簇有较完整的分类.

代数群（Algebraic group）是具有某种拓扑结构的群。代数群理论是群论与代数几何学结合的产物，可以看成李群理论的推广或者同李群理论平行的一个群论分支。若G是代数闭域K上的代数簇，又具有群的结构，且乘法运算G×G→G(这里的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)积)与求逆运算G→G都是簇的态射，则称G为代数群。若G作为簇是不可约的，则称此代数群是连通的。代数群的闭子簇若同时也是个子群，则称为闭子群，它仍是个代数群。代数群关于它的正规闭子群的商群也是个代数群。例如，K上n级一般线性群(K上n级非奇异矩阵全体所成的群)GL(n，K)是代数群；K上n次特殊线性群(K上行列式1的n阶矩阵全体所成的群)SL(n，K)是GL(n，K)的闭子群。若代数群G的簇结构是仿射的，则称G为仿射代数群或线性代数群。采用后一术语的理由是，这种群都同构于某个GL(n，K)的闭子群.若G的簇结构是完备的，则称G为阿贝尔簇。阿贝尔簇的群结构很简单(都是阿贝尔群)，且被簇结构惟一决定，因此它的研究属于代数几何学的范畴。另一方面，对任意代数群G，总可以惟一地找到一个正规的仿射闭子群N，使G/N是阿贝尔簇。因此，代数群理论研究的主要是仿射的(即线性的)代数群，并把仿射代数群简称代数群。代数群及其表示理论与域论、多重线性代数、交换环论、代数几何、李群、李代数、有限单群理论以及群表示理论等数学分支都有十分密切的联系，是近年来代数学的一个相当活跃的分支。

设G是一个代数簇，同时G又是一个群，而且群的运算是簇的态射，则称G是一个代数群。设G和G′是代数群，G到G′群同构同时也是簇同构称为代数群的同构。如果代数群的代数簇是仿射代数簇，则称代数群为仿射代数群。下面总是只讨论仿射代数群。设k是一个代数闭域，A1=k，A1在(x，y)→x+y之下作成一个代数群，记作Ga。m。域k上全体n×n可逆矩阵在乘法之下作成一个代数群，称为一般线性群，记作GL(n，k)。一个代数群的闭子群仍然是一个代数群。GL(l+1，k)中行列式为1的矩阵全体作成的群称为特殊线性群 ，记作SL(l+1，k)。设J是k上l阶矩阵，GL (2l，k) 的满足x′的方程：的x的全体做成的群称为辛群，记作Sp(2l，k)。如果Chark≠2，令，GL(2l+1，k)中满足x′sx=s的全体x做成的群为特殊正交群，记作SO(2l+1，k)，另一种特殊正交群可以定义为：令，由GL(2l，k)中所有满足x′sx=s的x做成的群，记作SO(2l，h)，它们称为典型群，分别记作Al，Cl，Bl，Dl。设G是代数群，只有一个不可约分支含G的单位元e。这个分支称为G的恒等分支。它是G的有限指数的正规子群，每个陪集作成G的一个不可约分支。G的每个有限指数的闭子群必包含于恒等分支中。如果G就是G的恒等分支，则称G是连通的。代数群的态射是一个群同态，同时又是簇的态射。态射φ：G→G′的核Kerφ是G的闭子群，象Imφ是G′的闭子群，dimG=dim Kerφ+dim Imφ。态射φ：G→GL(n，k)称为G的一个有理表示。设G是一个代数群，X是一个代数簇，φ：G×X→X是一个态射，满足x1(x2y)=(x1，x2)y，ey=y，x1，x2∈G，y∈X，则称是G在X上的一个作用。设G是一个代数群，G上的左不变导子作成一个李代数，称为G的李代数，记作L(G)。设H是群G的闭子群，在齐次空间G/H上可以构造出一个簇的结构，若H是G的闭正规子群，则G/H也是一个代数群，维数大于0的连通的代数群G，如果除了 {e}以外，没有别的闭的连通的正规阿贝尔子群，则称G是半单的 (Chark=0)，GL(n，k)中由对角矩阵的全体做成的群称为对角群，记作D(n，k)，如果G同构于D(n，k)的某个闭子群，则称G是可对角化的。一个代数群称为一个环面，如果它同构于某个D(n，k)。代数群G的极大闭连通可解子群称为G的波雷尔子群。设H是代数G的闭子群，令NG(H)= {x∈G|xhx-∈H，h∈H}，CG(H)= {x∈G|xhx=h， h∈H}，则NG(H)和CG(H)是G的闭子群，称为H在G中的正规化子和中心化子。设T是G的一个极大环面，有限群NG (T)/CG(T)称为G的外尔群。