设A，B，D是集合，称A×B到D的映射为A×B到D的代数运算。如有n元函数f：S1×S2×...×Sn→S中有S=S1=S2=...=Sn则称f 为S 上的n 元代数运算，或简称n元运算。当n=2时称二元运算；n= 1时称一元运算。在代数系统中一般以讨论二元运算为主(有时也讨论一元运算)。一个运算可用一个运算符及若干个集合中元素组成。运算符中二元运算符常可用“。”、“*”等表示，也可用“+”“×”等表示，但其中并不一定具有通常数字中的“加”“乘”的含义，一个运算的表示如x×y=z，a+b=c等均为二元运算的表示。

定义 （1）设A，B，D是集合，称A×B到D的映射为A×B到D的代数运算。

注：(i) 代数运算是一种特殊映射；

(ii) A和B的次序一般不能交换；

(iii) 代数运算通常用符号“”表示。

（2）一个A xA到A的代数运算称为A上的(二元)代数运算。

按照这个定义，一个代数运算只是一种特殊的映射。因为在一般映射里，可能会涉及n个集合和另一个集合D，这里n可以是任何正整数。现在我们说的是一个特殊的映射．它只有两个集合A和B，与另一个集合D发生关系，这种情况把它叫作是一个代数运算。让我们看一看，为什么把这样的一个特殊映射叫作代数运算?假定我们有一个AxB到D的代数运算。按照定义，给了一个A的任意元a和一个B的任意元b，就可以通过这个代数运算得到一个D的元d。我们也可以说，所给代数运算能够对a和b进行运算，而得到一个结果d。这正是普通的计算法的特征，例如普通加法就是把任意两个数加起来，而得到另一个数的运算。

代数运算既是一种特殊的映射，描写它的符号，也可以特殊一点。一个代数运算我们用符号来表示(映射是用表示)。

设有n元函数f：S1×S2×...×Sn→S中有S=S1=S2=...=Sn则称f为S上的n元运算，或简称n元运算。当n=2时称二元运算；n=1时称一元运算。在代数系统中一般以讨论二元运算为主(有时也讨论一元运算)。一个运算可用一个运算符及若干个集合中元素组成。运算符中二元运算符常可用“”“*”等表示，也可用“+”“×”等表示，但其中并不一定具有通常数字中的“加”“乘”的含义，一个运算的表示如x×y=z，a+b=c等均为二元运算的表示。

(i) 设是A上的一个代数运算，若a，b，c∈A有

则称A上的这个代数运算满足结合律。

(ii) 若集合A上的代数运算满足结合律，则对A中任意n(n≥3)个元素无论怎样加括号，其结果都相等。

(i) 设是A上的一个代数运算，若有

则称A上的代数运算满足交换律。

(ii) 若集合A上的代数运算既满足结合律又满足交换律。则对A中任意n个元素进行运算时可以任意结合和交换元素的前后次序，其结果均相等。

(i)设是A上的一个代数运算，若有

则称“”满足左消去律。

(ii)设是A上的代数运算，若有

则称“”满足右消去律。

(iii)若既满足左消去律又满足右消去律。则称满足消去律。

(i)左分配律

①设集合A上有两个代数运算和，若有

则称对满足左分配律。

②设集合A上有两个代数运算和，若满足结合律且对满足左分配律，则有

(ii)右分配律

①设集合A上有两个代数运算和，若有

则称对满足右分配律。

②设集合A上有两个代数运算和，若满足结合律且对满足右分配律．则有

【1】设Z是整数集．下列法则是Z上的代数运算的是哪些?

(i)普通加法

(ii)普通乘法

(iii)普通减法

(iv)普通除法

(v)

解：(i)、(ii)、(iii)是Z上的代数运算。

(iv)不是Z上的代数运算，因为

没有意义．

(v)不是Z上的代数运算，因为

不是整数．

【2】设其中R是实数集，是普通除法

问：代数运算是否满足结合律?

解：代数运算不满足结合律。

取a=2，b=3，c=3，则

从而a=2，b=3，c=3时，有