伽玛函数（Gamma函数），一般用希腊字母Γ表示，也叫第二类欧拉积分。 伽玛函数是阶乘函数在实数与复数上延拓的一类函数，但并不是唯一的。它在除了非正整数外的整个复数域都有定义。

伽玛函数的理论源自于阶乘函数的推广问题，即找到一个函数，使得只对自然数n有定义的阶乘函数可以延拓到实数（甚至复数）域上，这样我们就可以自然地定义的值。

在寻找这样的表达的过程中，我们遇到了以下众所周知的不恰当之处：欧拉发现当n为整数时，有

这意味着我们可以将整数n替换成任意的正实数（保证积分的收敛性）x并定义。

然而，阶乘函数的推广问题本质上是一个插值问题，这意味着阶乘有无限多种的连续扩张方式将定义域扩张到非整数，理由是可以对任何一组孤立点画出无限多的曲线。后来证明伽玛函数是最好的一个选择（它是满足一系列拥有好的性质的函数的唯一解）。然而，它并不是唯一一个扩张阶乘意义的解析函数。

例：阿达玛阶乘函数（Hadamard’s factorial function）是一个相对于伽玛函数十分简单的函数，它在正整数处与伽玛函数重合，且在整个复平面上不存在奇点 ：

的记号是由勒让德（Legendre）提出的，当复数s的实部严格大于0时（即），伽玛函数定义为积分

这个积分（也叫第二类欧拉积分）在时收敛。于是伽玛函数的定义域为半平面。

欧拉的定义表现为无穷乘积的形式。欧拉在研究无穷乘积时意识到，当n是正整数时，有

这个无穷乘积如今更常规地写成

这个无穷乘积对除了非正整数以外（在非正整数处由于要把0作为分母而无意义）的所有都有定义。

威尔斯特拉斯（Weiersteass）对伽玛函数的定义适用于除了非正整数以外的所有复数s :

事实上这个定义是由的阿达玛无穷乘积形式取倒数得到的，关于这个形式的细节部分见伽玛函数的倒数一节。

威尔斯特拉斯的定义的好处是我们可以用这个形式直接定义对数伽玛函数

关于这个函数的细节部分将在对数伽玛函数一节说明。

定义在上的可以解析延拓为复平面ℂ上的一个亚纯函数，其奇点仅出现在非正整数上。

考虑

其中定义了一个整函数（保证了积分的收敛性），现在考虑，将展开成泰勒级数并交换积分与求和顺序（这一步需要验证，但并不困难），得到

于是当时，

这一级数可以自然延拓为复平面ℂ上的亚纯函数。

a.伽玛函数满足递推公式。

这个方程是伽玛函数几乎所有其他理论的发展基础。特别地，因为。我们推出，当时，有

反复应用递推公式可以直接推出：

b.余元公式（也叫欧拉反射原理，Euler’s reflection formula）

当时，称Γ函数的自变量s与1-s是互余的，因此等式

叫作Γ函数的余元公式。

特别地，令，可以直接由余元公式推出 。

c.光滑性和导数形式

伽玛函数是无限次可微的，且其n阶导数为

d.欧拉-高斯公式

通常称下面的等式

为欧拉-高斯公式。事实上这一公式就是欧拉对伽玛函数的定义。

当时，伽玛函数是严格的对数凸函数，于是我们有

或者其等价形式

这个不等式可以通过对数伽玛函数的导函数得到证明，关于对数伽玛函数及其导数形式可以见对数伽玛函数一节。

将函数

表示成拉普拉斯积分的形式：

而且如果在时做变量替换，则化成积分

函数在区间上有唯一的极大值点，且 ，根据拉普拉斯积分的局部化原理，我们推出当时，

特别地，当时，就是经典的斯特林公式 (Stirling’s formula) :

如果要更精细地估计伽玛函数的值，我们有斯特林级数

事实上，Γ函数在整个复平面ℂ上定义了一个亚纯函数，其所有的奇点出现在所有的非正整数上，Γ函数在处的留数是。

我们已经证明了当时。事实上，解析延拓后在处（s不是伽玛函数的奇点处）这一定理仍然成立。考虑s是一个负整数的情况，，那么该递推公式可以扩充为

除了第二类欧拉积分外，还有许多公式将伽玛函数表示为积分。例如，我们现在使用的第二类欧拉积分是由勒让德改良之后的，欧拉给出的原本形式是

这个积分本质上可以通过替换得到。类似地，通过替换，再用替换s，我们可以得到

特别的，当时，可以得到著名的高斯积分 :

当时，对数伽玛函数有下面的傅里叶级数展开:

Iaroslav V.Blagouchine发现Carl Johan Malmsten于1842年首次推导出该级数。

1840年拉贝（Joseph Ludwig Raabe）证明了

特别地，当时，有

贝塔函数

贝塔函数（beta函数）也称第一类欧拉积分，其在实数域上定义为

该积分收敛的充要条件是

贝塔函数与伽玛函数的关系为

黎曼zeta函数

黎曼zeta函数（Riemann zeta function）由收敛的级数定义，当时，

伽玛函数和黎曼zeta函数之间有着密切的关系，这在研究素数的分布时是非常重要的。

另一个需要引入的函数是theta函数，定义在ℝ上，时，

对，有

这个公式可以用来找zeta函数的平凡零点。

正弦函数

多项式的因式分解在很大程度上是一个代数问题，但扩展到具有无穷多个根的函数（如正弦函数）就需要系统地建立无穷乘积理论。1876年，魏尔斯特拉斯成功地提出了一个广泛的因式分解理论，其中包括众所周知的无穷乘积以及某些双周期函数作为特例。

我们回到余元公式（欧拉反射原理）:

通过递推公式我们可以将其化为

现在我们用魏尔斯特拉斯乘积公式（Weierstrass’s product formula）来代替和的表达式。这给出了作为无穷乘积的如下表示：

由于伽玛函数和阶乘函数的增长率非常快，在许多情况下往往需要取对数来方便计算。

我们回到威尔斯特拉斯（Weierstrass）对伽玛函数的定义上，这一定义适用于除了非正整数以外的所有复数s:

对，有，因此是良定义的（事实上，对数函数在上是良定义的），于是我们有对数伽玛函数

注：这里表示以e为底的对数函数，国内的教材多使用表示以e为底的对数函数。

下面我们来讨论对数伽玛函数的一些性质，这一部分只考虑在实数域上的伽玛函数定义。从可导性开始，

导数存在需要满足的条件是级数收敛，事实上，由于

在时，这个级数总是一致收敛的。同理，由于级数的收敛性，我们也可以定义其高阶导数

其中是一个特殊情况，因为

总是正的，因此成立不等式

或

这说明与在某一特定的s下，要么都是正的，要么都是负的。

函数有以下性质：

a.是整函数，其零点出现在，没有其它的零点（这一性质可以由性质c直接推出）。

事实上，由是整函数可直接推出伽玛函数没有零点。

b.下面计算的增长阶（Order of growth）

增长阶的定义：f是一个整函数。如果存在正数ρ和常数，使得对任意满足

那么我们说f的增长阶小于等于ρ，我们定义f的增长阶为

是指数增长的，且存在

因此的增长阶为1。

c.对任意的，有

事实上，这是一个威尔斯特拉斯无穷乘积（Weierstrass infinite products）的形式，由阿达玛分解定理（Hadamard's factorization theorem）得到。对它取导数也就得到了伽玛函数的Weierstrass定义。

除了显示的根以外，这一公式还做了很多事情，它立即表明，伽玛函数的倒数比伽玛函数本身更容易处理。它是一个整函数，也就是说，对于有限个自变量来说，它是一个不具有任何奇异性的特殊函数。

注：实数γ是欧拉常数（又称欧拉-马斯克若尼常数），近似值为0.57721，其定义为

波尔–莫勒鲁普定理指出，在所有将阶乘函数扩展到正实数的函数中，只有伽玛函数是对数凸的，即其自然对数在正实轴上是凸的。威兰特定理给出了另一个特征。

伽玛函数是唯一同时满足以下条件的函数：

关于伽玛函数的唯一性（或者说伽玛函数是阶乘函数的所有插值函数的最优解）的问题，我们还有以下两个定理：

定理1

考虑定义在实数上且满足的具有连续的二阶导的函数，若满足

那么伽玛函数是f的唯一解。

定理2

伽玛函数是唯一正的连续函数。对任意正数x，它同时满足方程

注：这里p可以取任何值。

关于伽玛函数，我们知道的很多。自从欧拉诞生以来，已经有非常多篇与它有关的主要论文问世。但是还有一些事情我们不知道的。

出现在伽玛函数公式中的欧拉-马斯克若尼常数

对这个常数可以有许多不同的表达方式

虽然已知的数值非常精确，但在撰写本文时还不知道是否为有理数。

伽玛函数引起了一些有史以来最杰出的数学家的兴趣。Philip J. Davis在一篇为他赢得1963年肖维尼奖的文章中记录了它的历史，反映了18世纪以来数学领域的许多重大发展。用Davis的话说：

“Each generation hasfound something of interest to say about the gamma function. Perhaps the nextgeneration will also.”

“每一代人都找到了关于伽玛函数的有趣话题。或许下一代也会如此。”

伽玛函数诞生于1729 年圣彼得堡的瑞士数学家和莫斯科的德国数学家之间的一封通信中。前者是莱昂哈德·欧拉（1707—1783），当时22岁，却成为18 世纪最伟大的数学家。后者是克里斯蒂安·哥德巴赫（1690—1764），一个学者。他给未来留下了一个数论问题（即哥德巴赫猜想），直到今天它仍是数学领域的一个前沿问题。

哥德巴赫和丹尼尔·伯努利，以及更早的詹姆斯·斯特林提出了一个表面上很简单的插值问题，但都没有成功，于是这个问题被提给了欧拉。

欧拉在研究无穷乘积时意识到，当n是正整数时，有

于是欧拉在两封信中宣布了他对这一问题的解决方案。后来他给出了两个不同的定义：第一个是一个无穷乘积，它对除负整数之外的所有复数n都是良定义的:

第二个是一个积分的形式:

阿德里安·玛丽·勒让德（1752—1833）对这个积分进行了修改。并称其为第二类欧拉积分。于是有了今天经常使用的积分形式:

詹姆斯·斯特林与欧拉同一时代，也试图找到阶乘的连续表达式，并提出了现在所知的斯特林公式。虽然斯特林公式给出了的一个很好的估计，对于非整数，它也不提供确切的值。

卡尔·弗里德里希·高斯（1777—1855）首先将欧拉乘积作为出发点，开始了向复平面的转变。并用这个公式发现了伽玛函数的新特性。尽管欧拉是复变理论的先驱，但他似乎并没有像高斯那样首先考虑复数的阶乘。我们对解析延拓过程的理解是基于波恩哈德·黎曼（1826-1866）和卡尔·魏尔斯特拉斯（1815-1892）的工作。

魏尔斯特拉斯进一步确立了伽玛函数在复分析中的作用，从另一种无穷乘积表示法开始:

受这一结果的启发，他于1876年提出了一个广泛的因式分解理论——任何整函数都可以写成其在复平面上的零点的乘积；代数基本定理的推广。

大约在1811年，勒让德引入了伽马函数的名称和符号，勒让德还以现代形式改写了欧拉积分的定义。另一种“pi函数”符号 ，由于高斯有时会在旧文献中遇到，但勒让德的符号在现代工作中占主导地位。

虽然伽玛函数已经给出了大量的定义，这多少有些问题。尽管它们描述了相同的函数，但证明等价性并不完全简单。斯特林从未证明他的扩展公式与欧拉伽玛函数完全对应。与其为每个公式寻找专门的证明，不如有一种识别伽玛函数的通用方法。

直到1922年，伽玛函数才有了明确的、普遍适用的特征。哈那德·玻尔和约翰内斯·莫勒鲁普证明了波尔-莫勒鲁普定理:伽玛函数是正的阶乘递归关系的唯一解。

波尔-莫勒鲁普定理很有用，因为证明用于定义伽玛函数的任何不同公式的对数凸性相对容易。更进一步，我们可以选择波尔-莫勒鲁普定理的条件作为定义，然后选择任何我们喜欢的满足条件的公式作为研究伽玛函数的起点，而不是通过任何特定的公式来定义伽马函数。这种方法被布尔巴基学派广泛使用。