伽罗瓦扩张：在数学中，如果一个域扩张 K/k 既是一个正规扩张又是可分扩张，那 K/k 就是一个伽罗瓦扩张。注意正规扩张隐含了 K/k 是一个代数扩张。

对于一个伽罗瓦扩张 K/k，可以定义伽罗瓦群，为所有 K/k 的自同构构成的群。抽象代数， 研究代数的具体结构，群、环、域、模，域的可分正规扩张——伽罗瓦扩张。（定义在什么样的物体上可以进行所谓的测量，严格的从数学的公理化出发进行定义）

伽罗瓦扩张是抽象代数中伽罗瓦理论的核心概念之一。伽罗瓦扩张是域扩张的一类。如果某个域扩张L/K既是可分扩张也是正规扩张，则称其为伽罗瓦扩张。另一个等价的定义是：伽罗瓦扩张是使得其上的环自同构群的固定域为其基域的域扩张。伽罗瓦扩张上的自同构群称为伽罗瓦群，而且伽罗瓦扩张的中间域与其伽罗瓦群的子群之间的关系满足伽罗瓦理论基本定理。

给定有限的域扩张L/K。L/K是伽罗瓦扩张，当且仅当它满足以下三个相互等价的条件中的任何一个：

L/K是可分的正规扩张。

L是某个以K中元素为系数的多项式在K的分裂域，而且该多项式在此分裂域中没有重根。

[L:K] = |Aut(L/K)|。域扩张L/K的次数，等于其上的自同构群Aut(L/K)的阶数（群元素的个数）。

Aut(L/K)的不变域，即，是K。

以下诸例中 F 是一个域，C、R、Q 分别为复数、实数与有理数域。记号 F(a) 表示通过添加一个元素 a 到域 F 中得到的域扩张。

Gal(F/F) 是一个元素的平凡群，即恒同自同构。

Gal(C/R) 有两个元素，恒同自同构与复共轭自同构。

Aut(R/Q) 平凡。事实上可以证明任何 Q-自同构一定保持实数的顺序，从而必然是恒同。

Aut(C/Q) 是一个无限群。

Gal(Q(√2)/Q) 有两个元素，恒同自同构与将 √2 和 ?√2 互换的自同构。

考虑域 K = Q(3√2)。群 Aut(K/Q) 只包含恒同自同构。因为 K 不是正规扩张，这是因为其它两个三次根（都是复数）不在扩张中——换句话说 K 不是一个分裂域。

考虑 L = Q(3√2, ω)，这里 ω 是本原三次单位根。群 Gal(L/Q) 同构于6阶二面体群 S3，事实上 L是 x3 ? 2 在 Q 上的分裂域。

如果域扩张基域的特征为0，那么所有代数扩张都是可分扩张，这时所有的正规扩张都是伽罗瓦扩张。

如果域扩张L/K是伽罗瓦扩张，则中间扩张K⊂F⊂L中，L/F也是伽罗瓦扩张。

域K的代数闭包K是K的伽罗瓦扩张，当且仅当K是完美域。

一个扩张是伽罗瓦型的重要性是因为它满足伽罗瓦理论基本定理（fundamental theorem of Galois theory：伽罗瓦群的子群对应于这个域扩张的中间扩张。

如果 E/F 是伽罗瓦扩张，则 Gal(E/F) 能给出一个拓扑，称为克鲁尔拓扑（Krull topology），使其成为一个投射有限群（profinite group）。