光滑曲线是数学分析中一个重要的概念,但数学分析中光滑曲线的定义具有一定的局限性。首先辨析光滑曲线的定义,并研究与之关联的曲率公式,给出光滑曲线的判定及曲率公式的几种形式。

光滑流形M上的光滑曲线为光滑映射c:I→M，其中I为ℝ中的一个区间。

c在t点的切向量定义为，则有

若函数f(x)在区间(a,b)内具有一阶连续导数，则其图形为一条处处有切线的曲线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。或者，从参数角度，若X'(t)和Y'（t）在[T1,T2]上连续，且，则由参数方程X=X(t),Y=Y(t)，t属于区间[T1，T2]确定的曲线称为光滑曲线。

对简单曲线C: z=x(t)+iy(t)， α≤t≤β ﹙α，β为参数变化范围最大最小值两端点﹚，若x'(t)， y'(t)在[α，β]上连续且不全为零，则称C为光滑曲线。