全序关系
数学概念
在数学中,集合 X 上的全序关系(Total order),简称全序、又名线性序(linear order)、简单序(simple order),或(非严格)排序((non-strict) ordering),是在 X 上的反对称的、传递的和完全的任何二元关系
定义
设集合X上有一全序关系,如果我们把这种关系用 ≤ 表述,则下列陈述对于 X 中的所有 a, b 和 c 成立:
配对了在其上相关的全序的集合叫做全序集合(totally ordered set)、线序集合(linearly ordered set)、简单序集合(simply ordered set)或链(chain)。链还常用来描述某个偏序的全序子集,比如在佐恩引理中。
关系的完全性可以如下这样描述:对于集合中的任何一对元素,在这个关系下都是相互可比较的。
注意完全性条件蕴涵了自反性,也就是说,a ≤ a。因此全序也是偏序(自反的、反对称的和传递的二元关系)。全序也可以定义为“全部”的偏序,就是满足“完全性”条件的偏序。
可作为选择的,可以定义全序集合为特殊种类的格,它对于集合中的所有 a, b 有如下性质:
我们规定 a ≤ b 当且仅当。可以证明全序集合是分配格
全序集合形成了偏序集合范畴全子范畴,通过是关于这些次序的映射的态射a ≤ b 则 f(a) ≤ 。
在两个全序集合间的关于两个次序的双射是在这个范畴内的同构
严格全序
对于每个(非严格)全序 ≤ 都有一个相关联的非对称(因此反自反)的叫做严格全序的关系 <,它可以等价地以两种方式定义:
性质:
我们可以其他方式工作,选择 < 为三分的二元关系;则全序 ≤ 可等价地以两种方式来定义:
还有两个关联的次序是补关系 ≥ 和 >,它们构成了四元组 {<, >, ≤, ≥}。
我们可以通过这四个关系中的任何一个,定义或解释集合全序的方式;由符号易知所谈论的是非严格的,抑或是严格全序。
全序关系与偏序关系
偏序和全序是公理集合论中的概念。首先需要知道什么是二元关系。比如实数中的“大小”关系,集合的集合中的“包含”关系就是两种二元关系。所谓偏序,即偏序关系,是一种二元关系。所谓全序,即全序关系,自然也是一种二元关系。全序是指,集合中的任两个元素之间都可以比较的关系。比如实数中的任两个数都可以比较大小,那么“大小”就是实数集的一个全序关系。偏序是指,集合中只有部分元素之间可以比较的关系。比如复数集中并不是所有的数都可以比较大小,那么“大小”就是复数集的一个偏序关系。显然,全序关系必是偏序关系。反之不成立。
例子
参考资料
最新修订时间:2024-06-22 15:40
目录
概述
定义
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