共轭在数学、物理、化学、地理等学科中都有出现。 本意：两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走。共轭即为按一定的规律相配的一对。通俗点说就是孪生。在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等。

两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数（conjugate complex number）。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作 （z上加一横，英文中可读作Conjugate z,z conjugate or z bar），有时也可表示为 。

根据定义，若z=a+ib(a，b∈R)，则 =a－ib（a,b∈R)。在复平面上，共轭复数所对应的点关于实轴对称。

当 都是有理根式，而 、 中至少有一个是无理根式时，称 和 互为“共轭根式”。由平方差公式，这两式的积为有理式。

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，如双曲线H： 与 双曲线H'： 叫做一对共轭双曲线(a>0,b>0)。

主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。

设A=(aij)为复（数）矩阵，记,其中表示aij的共轭复数，称为A的共轭矩阵。

把矩阵转置后，再把每一个数换成它的共轭复数。

水跃中，跃前水深与跃后水深的互称或共称。

在构造地质学中存在共轭剪节理。

两向量间的一种特殊关系。设A为n×n对称正定矩阵，向量p，p∈R。若满足条件(p)Ap=0，则称p和p关于A是共轭方向，或称p和p关于A共轭。一般地，对于非零向量组p，p，…，p∈R，若满足条件：(p)Ap=0(i≠j，i，j=1，2，…，n)，则称该向量组关于A共轭。

以一组共轭方向作为搜索方向来求解无约束非线性规划问题的一类下降算法。是在研究寻求具有对称正定矩阵Q的n元二次函数

f(x)=1/2xQ x+bx+c

最优解的基础上提出的一类梯度型算法，包含共轭梯度法和变尺度法。根据共轭方向的性质，依次沿着对Q共轭的一组方向作一维搜索，则可保证在至多n步内获得二次函数的极小点。共轭方向法在处理非二次目标函数时也相当有效，具有超线性的收敛速度，在一定程度上克服了最速下降法的锯齿形现象，同时又避免了牛顿法所涉及的海色（Hesse）矩阵的计算和求逆问题。对于非二次函数，n步搜索并不能获得极小点，需采用重开始策略，即在每进行n一维搜索之后，若还未获得极小点，则以负梯度方向作为初始方向重新构造共轭方向，继续搜索。