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共轭指数

数学领域术语

数学上，若两个实数p，q>1，且1/p+1/q=1 ，称p，q为共轭指数（conjugate indices），一般定义q=∞为p=1的共轭指数。

定义

若，且，称互为共轭指数。

相关应用及定理

引理1设是一对共轭指数，则对任何正数A，B，有

等号仅当时成立。

定理2设是一对共轭指数，是两个有穷实数列，则有赫尔德不等式

对于非零数列，式中等号仅当与对应成比例时成立。

指数时的赫尔德不等式

叫作柯西(Cauchy)不等式，从(2)式出发，让，通过极限过程不难得到级数形式的赫尔德不等式

从基本(或二重)赫尔德不等式(2) 与(4)出发，可以得到多重赫尔德不等式。

定理3 设是一组共轭指数，即，设是列实数(列长可以是有限数n，也可以是无穷)，则有多重赫尔德不等式

式中等号成立的条件是：中存在某个列与其他各列分别对应成比例（比例系数可以不同）。

利用赫尔德不等式容易得到闵可夫斯基不等式:

定理4 设是两列实数，则有闵可夫斯基不等式

当数列对应成非负比例时等号成立。

定义设互为共轭指数，根据赫尔德不等式，对于每个，则

定义了上的一个线性泛函，且

定理5设互为共轭指数，若，则

那么反过来呢? 即上的任一线性连续泛函能否表示成为的形式呢?回答是肯定的，这个结果就是Riesz表示定理：

定理6设是的开集，互为共轭指数，若，则对中的任一线性泛函G(即 )，一定存在唯一的函数，使得，且对任意，下式成立:

上述定理说明: 与等距同构。

当时，称是的对偶空间。

参考资料

最新修订时间：2023-05-15 11:36

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