若0
成立条件
时，仅当，使得 和 在E上几乎处处成立时①式成立
p=1时，仅当 ，使得 a.e.(almost everywhere)于E，且 时， ②式成立
证明
如果||f||p= 0，那么f在μ-几乎处处为零，且乘积fg在μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q=0也是这样。因此，可以假设||f||p>0且||g||q>0。
如果||f||p= ∞或||g||q=∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，可以假设||f||p和||g||q位于(0,∞)内。
如果p= ∞且q= 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞|g|，不等式就可以从
勒贝格积分的单调性推出。对于p=1和q=∞，情况也类似。因此，还可以假设p,q∈ (1,∞)。
分别用f和g除||f||p||g||q，可以假设：
现在使用杨氏不等式：
对于所有非负的a和b，当且仅当时 等式成立。
因此：
两边积分，得：
这便证明了赫尔德不等式。
在p∈ (1,∞)和||f||p= ||g||q= 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有 。更一般地，如果||f||p和||g||q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α,β>0（即α= ||g||q且β= ||f||p），使得： μ-几乎处处(*)
||f||p= 0的情况对应于(*)中的β=0。||g||q=的情况对应于(*)中的α=0。