均值定理，又称
基本不等式。主要内容为在正实数范围内，若干数的
几何平均数不超过他们的
算术平均数，且当这些数全部相等时，
算术平均数与
几何平均数相等。
定义
均值定理：对于任意两个正实数a、b，都有
当且仅当a=b时，等号成立。
注：运用均值不等式求最值条件
① ， ；
②a和b的乘积ab是一个定值（正数）；
③等号成立条件。
相关重要不等式：
① ；
② ；
③ 。
证明
算数证明
对于正数,有
当且仅当时，等号成立。
几何证明
在中，，点为中点，为高。设，。
由射影定理可知，
∵在中，点为中点
∵在中，
当且仅当与重合，即时等号成立。
几何含义
一个矩形的长为a，宽为b，画两个正方形，要求第一个正方形的面积与矩形的面积相同，第二个正方形的周长与矩形的周长相同，如图1。第一个正方形的面积为ab，则其边长为 ；第二个正方形的周长为 ，边长为 。可以看出第一个正方形面积不大于第二个正方形，即边长关系 。
推广
均值定理可进行推广，得到更为通用的
均值不等式： 。即
调和平均数不超过
几何平均数，几何平均数不超过
算术平均数，算术平均数不超过
平方平均数，简记为“调几算方”。
其中：对于任意非负实数 ，有
，即调和平均数；
，即几何平均数；
，即为算术平均数；
，即为平方平均数。
应用
和积互化
①和定积最大
当为定值时，当且仅当时，有最大值。
②积定和最小
当为定值时，当且仅当时，有最小值。
求解最值
（1）当 时，求 的最大值。
解：
当且仅当 ，即 时， 取最大值8。
（2）当 时，求函数 的最小值。
解：
当且仅当，即时，取最小值3。