准素理想(primary ideal)是一种特殊的理想。理想论中理想分解的基础。

设Q是交换环R的理想，且Q≠R，如果对R中任意元素x,y，xy∈Q且x∉Q，恒有正整数n，使得yn∈Q，则称Q是R的准素理想。

准素理想(primary ideal)是一种特殊的理想。理想论中理想分解的基础。

交换环R的理想I的准素分解，为I=Q1∩Q2∩...∩Qn，其中每个Qi为准素理想。若不存在Qi包含Q1∩...∩Qi-1∩Qi+1∩...∩Qn，且Qi的根理想均互异，则称为约化准素分解。

素理想是准素理想。

若Q为交换环R的准素理想，则Q的根理想为素理想。

设I为交换环R的理想 ，若I有准素分解，则I有约化准素分解。

理想是集合论中的基本概念之一。设S为任意集合，若I⊆P(S)且满足：

1.∅∈I;

2.若X，Y∈I，则X∪Y∈I;

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，则Y∈I;

则称I为集合S上的理想。理想的概念在现代数学的几乎每个分支中均有应用，且有许多变体或引申。例如，布尔代数上的理想即为集合上的理想的一种变体。设B为任意布尔代数，若B的一个子集I满足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分别为布尔代数B中的零元与么元);

2.对任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;

3.对任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;

则称I为B上的理想。

理想论是与环的理想密切相关的理论。它是交换环理论的重要部分。20世纪20年代初，由诺特(Noether，E.)所建立的一般交换环上理想的准素分解理论与20世纪30年代克鲁尔(Krull，W.)的局部环与维数理论。这一理论使古典几何建立在坚实的代数基础之上，形成了代数几何这门学科.理想论也是代数数论的重要工具。

素理想是一类特殊理想。它是整数环中素数生成理想的推广。设P是环R的理想，对R中任意理想A，B，若ABP必有AP或BP，则称P为R的素理想。它等价于对x，y∈R，若xRyP则x∈P或y∈P。当R是交换环时，P是R的素理想当且仅当对R中任意元素a，b，若ab∈P，则a∈P或b∈P。素理想在交换环的理想理论中有重要作用。若对任意环R，a，b∈R，由ab∈P得出a∈P或b∈P，则称P为R的完全素理想。因此，对交换环来说，素与完全素概念是一致的。

相伴素理想(associated prime ideal)是一种特殊的素理想。包含给定准素理想的最小素理想。若Q是环R的准素理想，则Q的根 =P是包含Q的最小素理想，称P是Q的相伴素理想，也称属于Q的素理想。而Q称为P准素理想。P准素理想的交仍为P准素理想。

环是对并与差运算封闭的集类，测度论

的全体构成的集类，则F是R上的一个环。环也是对于交与对称差运算封闭的集类，并按这两种运算成为布尔环。要把R上的勒贝格测度和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度以及相应的积分理论推广到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集类并研究其性质。环以及半环、σ环、代数、σ代数等重要集类正是为了这一目的而引入的。