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准范数

数学术语

准范数(paranorm)是范数的又一种推广。准范数是定义在线性空间X上，并且满足一定条件的实值函数。赋范线性空间一定是赋准范线性空间。

定义

定义1 设X为线性空间（是数），定义于X上的满足：

（1）当且仅当

（2）

（3）

（4）

则称为X上的一个准范数（有时也称为拟范数），称X为赋准范线性空间（或赋拟范线性空间，简称赋准范空间）。

注：赋准范线性空间是一个具有平移不变距离的距离线性空间，其距离由

决定。

举例

例1 设s={x | x={xn} } 是数列空间，对x∈s，规定

则是s上的一个准范数。

例2 设是[a,b]中无限次可微的函数全体，对，规定

则是上的一个准范数。

例3 设是测度空间，E是可测集，，S是E上可测函数全体，其中几乎处处相等的函数视为S中同一个点，对f∈S，规定

则是S上的一个准范数。

拓展

范数

在准范数的基础上，加强条件得到范数的定义。

定义2 设X为线性空间，定义于X上的满足：

（1）当且仅当

（2）

（3）

则称为X上的范数，称X为赋范线性空间。

注：显然，赋范线性空间是赋准范线性空间。

Frechet空间

定义3 完备的赋准范线性空间称为Frechet空间。

不难验证，上面例1、例2、例3中的空间均为Frechet空间。

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 14:19

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