在范畴论中，函子（functor）是范畴间的一类映射，通俗地说，是范畴间的同态。

函子首先现身于代数拓扑学，其中拓扑空间的连续映射给出相应的代数对象（如基本群、同调群或上同调群）的代数同态。在当代数学中，函子被用来描述各种范畴间的关系。“函子”（英文：Functor）一词借自美国哲学家鲁道夫·卡尔纳普的用语。卡尔纳普使用“函子”这一词和函数之间的相关来类比谓词和性质之间的相关。对卡尔纳普而言，不同于当代范畴论的用法，函子是个语言学的词汇。对范畴论者来说，函子则是个特别类型的函数。

令和是两个范畴。一个从到函子F由如下信息给出：

1）将每个对象映射至一对象上，

2）将每个态射映射至一态射上，使之满足下列条件：

3）对任何对象，恒有。

4）对任何态射，恒有。换言之，函子会保持单位态射与态射的复合。

由一范畴映射至其自身的函子称之为“自函子”。

常函子（Constant functor）：把中的所有对象都对应到中的一个固定的对象，且把中的态射都对应到的恒等态射。

恒等函子（Identity functor）：，把中的对象和态射都对应到其自身。

遗忘函子：“遗忘”掉某些结构的函子，例如是群全体和群同态构成的范畴，是集合全体和集合间的映射构成的范畴，则把群对应到去掉乘法运算后的集合，把群同态对应为映射就是一个遗忘函子。

对角函子：对角函子被定义为由至函子范畴的函子，将每个在内的对象映射至此对象的常数函子上。

极限函子：对一固定的指标范畴，若每个函子都有个极限（即若为完全的），则极限函子即为将每个函子映射至其极限的函子。此类函子的存在性可以由将其理解为对角函子的右伴随函子，且引入福端伴随函子定理来证明之。这需要一个适当版本的选择公理。相似的说法也可应用在上极限函子（其为协变的）之中。

二元函子是函子概念在“双变元”时的推广。形式的定义则定义在两个范畴的积上的函子。函子是一个自然的例子，它对第一个变元反变，对第二个变元协变。

1) 二元函子是有“两个”引数的函子。同态函子即为一个例子；其第一个引数为反变的，第二个引数则为协变的。形式上来说，二元函子是一个其定义域为积范畴的函子。例子，同态函子即为。

2) 多函子是将函子的概念广义化至个引数。而双函子当然是一个的多函子。

从函子的公理中可得出两个重要的推论：

1) 将每个在中的交换图变换成中的一个交换图；

2) 若为中的一个同构，则F(f)也会为中的一个同构。

若函子满足为同构当且仅当为同构，则称之为保守函子。

在任意范畴上，可定义一个单位函子，其将每个对象和态射映射至其自身。也可以将函子复合，即若F为一由至的函子且为一由至的函子，则可组成一个由的复合函子。函子的复合依定义是可结合的。这显示函子可以被认为是范畴的范畴中的态射。

一个只具单一对象的小范畴等同于一个幺半群，此一单一对象范畴的态射可被视为是幺半群中的元素，且其在范畴中的复合则可以视为是幺半群中的运算。此时这类范畴间的函子无非是幺半群间的同态。在此意义下，任意范畴间的函子可被视为是幺半群同态至多于一个对象的范畴的一种广义化。

设D有小态射集。则函子K:D→Set的表示为对，其中r为D的对象，ψ:D(r,-)K为自然同构。r称为表示对象，若K存在表示，则K称为可表示函子。

1)本质满射函子：使得值域中任意对象皆同构于某个的函子。

2)正合函子：保存有限极限的函子。在阿贝尔范畴中相当于保存正合序列。

3)忠实函子：使得对任意对象，为单射的函子。

4)完全函子：使得对任意对象，为满射的函子。

5)完全忠实函子：既完全且忠实的函子称为完全忠实函子。是完全忠实函子的充要条件是是范畴的等价，其中表示中由的像生成的满子范畴。

6)保守函子：使得为同构当且仅当为同构的函子。

7)加性函子：指预加性范畴（或加性范畴）中保存同态集（以及双积）的阿贝尔群结构的函子。

8)伴随函子：满足下述条件时称为一对伴随函子：。