函子是范畴间的一类特殊映射。有些问题中需研究两个范畴间的联系或通过这种联系由一个范畴的性质来推断另一范畴的性质，这就引出函子的概念。函子可看成范畴间的变换或同态，在范畴论中起着重要作用。

一个预加性范畴，若有零对象，且其每个对象对都有双积，则称为加性范畴。

加性函子(additive functor)是范畴论与同调代数中常用的一类函子，即保持态射加法的函子，它只对加性范畴才有意义。设F为加性范畴C到加性范畴C′的函子，若对任意的A，B∈C及任意的f，g∈HomC(A，B)，恒有F(f+g)=F(f)+F(g)，则称F为加性函子。事实上，它是加法阿贝尔群HomC加性函子(A，B)到加法阿贝尔群HomC′(F(A)，F(B))的群同态(注意加性范畴中的任两对象间的态射集都是加法阿贝尔群)。加性函子可用它的特征性质——“保持有限个对象的积(和)”来刻画。对偶地可定义加性反变函子。

函子是范畴间的一类特殊映射。有些问题中需研究两个范畴间的联系或通过这种联系由一个范畴的性质来推断另一范畴的性质，这就引出函子的概念。函子可看成范畴间的变换或同态，在范畴论中起着重要作用。若C，C′为两个范畴，F：C→C′使：

1.C的对象都变成C′的对象，即A∈C，F(A)∈C′；

2.σ∈HomC(A，B)，σ都被F变成：

F(σ)∈HomC′(F(A)，F(B))；

3.F(στ)=F(σ)F(τ)对C中可合成态射σ，τ成立；

4.F(εA)=εF(A)，其中ε表恒等态射；

则称F为C到C′的一个共变函子(亦称协变函子).若上述条件1，4不变而条件2，3分别改为：

2′.σ∈HomC(A，B)，有：

F(σ)∈HomC′(F(B)，F(A))；

3′. F(στ)=F(τ)F(σ)；

则称为C到C′的一个反变函子(亦称逆变函子)。共变函子与反变函子又统称为函子。但有时也将共变函子简称函子。

加性范畴亦称加法范畴。一种常用范畴。一个范畴C称为加性范畴。若它满足下述条件：

1.C有零对象.

2.对任何A，B∈C，Hom(A，B)为一个加法阿贝尔群。

3.态射合成满足左、右分配律，即，若σ，σ′∈Hom(A，B)，τ，τ′∈Hom(B，C)，则

(τ+τ′)σ=τσ+τ′σ，　τ(σ+σ′)=τσ+τσ′.

4.任何有限个A1，A2，…，An∈C，上积

必存在，其中条件4可换为：

4′.对任何A，B∈C，上积AB必存在。

加性范畴最典型的例子是阿贝尔群范畴AG。在加性范畴中有限个对象必有积；加性范畴的对偶范畴仍为加性范畴；加性范畴中态射f为单态射的充分必要条件是kerf=0，f为满态射的充分必要条件是coker f=0。

代数学的一个重要分支。数学的各个领域都有各自的研究对象。例如，集合论研究集合与映射；线性代数研究线性空间与线性映射；群论研究群与群同态；拓扑学研究拓扑空间与连续映射。在20世纪中期，数学家们认为有必要将各个领域中的研究对象各自合在一起成为一个整体，使之成为一种数学系统，这就是范畴思想。于是，所有的集合与映射组成集合范畴；所有的群与群同态组成群范畴。在各个范畴之间往往存在着内在联系与变换。例如，一个群模去其换位子群的商群(称为交换化)得到一个交换群，从而交换化成为群范畴到交换群范畴的一个变换，且这个变换保持着群同态及其合成。事实上，这就是函子的思想。在域F上的线性空间范畴中，任一线性空间L必有惟一的对偶空间L=HomF(L，F)，“*”可看成这个线性空间范畴到自身的一个变换。尽管当L为有限维时L与L是同构的(记这个同构为τ：L→L)，但这个同构不是“自然”的。即，若L1与L2间有一个同构α：L1→L2，“*”诱导出L2到L1的一个同构为α，但对L1中的元素x来说，τα(x)一般地并不等于ατ(x)。这就引起“自然性”的研究。艾伦伯格(Eilenberg，S.)与麦克莱恩(MacLane，S.)于1945年发表的论文《自然等价的一般理论》为范畴论的建立作出了奠基性的工作。

在某种意义上来说，范畴论提炼了数学(甚至其他学科)各分支的共性，是比集合论更高一个层次的数学公共语言与工具。它使数学各个领域的研究通过箭头图做了一致化与简单化的处理，更加显示其本质上的东西，同时使许多数学系统的性质通过图的泛性质得到了深刻的刻画。戈德门特(Godement，R.)于1958年将范畴论应用到拓扑学，埃雷斯曼(Ehresmann，C.)于1958年将范畴论应用到微分几何，格罗腾迪克(Grothendieck，A.)与迪厄多内(Dieudonné，J.)于1960年将范畴论应用到代数几何。现在，范畴论在上述学科及同调代数、代数K理论、模论、环论等学科中都得到了成功的应用.应用范畴论时，关键是先搞清研究问题以什么作对象，以什么作态射。研究不同范畴之间的关系时，关键在于找到适当的函子。范畴论的核心是函子理论。艾伦伯格与麦克莱恩为了搞清某些同构(等价)的“自然”变换之精确含义，于1945年引入范畴与函子的概念去定义自然变换。现在，范畴论已渗透到现代数学的各个领域(甚至已应用到计算机科学等)，成为现代数学的基础。

代数学的一个重要分支，主要研究在代数对象的各种范畴(如给定环上的模、层等)上的导出函子。同调代数源于代数拓扑学，在20世纪40年代发展起来。最早出现的是群的上同调和同调，这是围绕着解决赫维茨(波兰代数拓扑学家)问题而引出的。这个问题的解决还导致波兰一美国数学家艾伦伯格和美国数学家麦克莱恩在1945年引进了群的上同调群。与此同时，结合代数的上同调群，李代数的上同调理论也都被引进。这些理论于1956年为H.嘉当和艾伦伯格用范畴的语言统一起来，形成代数学的一个独立分支。同调代数的语言，具有自然、清晰地表达信息的优越性，已被应用于代数拓扑基础的公理化表述。后来，这种语言已在很多领域里被采用，甚至包括那些尚未使用同调方法的领域。同调代数的方法已被广泛地应用到数学的各不同分支上，如泛函分析、单复变函数论、微分方程等，代数学的一些分支，如代数K理论、代数几何学和代数数论等，更不可缺少同调代数的方法。