确定性现象之间的关系常常表现为函数关系，即一种现象的数量确定以后，另一种现象的数量也随之完全确定，表现为一种严格的函数关系。当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之对应，则称这种关系为确定性的函数关系，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量。

设A和B是两个给定的集合， 是从集合A到集合B的一个二元关系。如果这个二元关系还满足下面的性质：对每个元素 ，存在唯一的元素 ，使得二元序偶 ，就称这个二元关系是从集合A到集合B的一个函数或者映射。记作

或者

也可改写为 ，其中y称为x的象，而x则称为y的原象。称集合A是函数的定义域，集合A中所有元素在函数 的作用下得到的所有象的集合称为函数 的象或函数 的值域。

为了进一步区分不同特性的函数，给出细分的定义。

设 是从集合A到集合B的一个函数。

(1)如果 ，则称函数 是从集合A到集合B的一个单射。

(2)如果 ，则称函数 是从集合A到集合B的一个满射。

(3)如果函数 既是从集合A到集合B的一个单射，又是从集合A到集合B的一个满射，则称它是从集合A到集合B的一个双射。

关于函数定义的几点说明：

(1)如果 是从集合A到集合B的一个函数，那么集合A中每个元素必须都有象，且象必须唯一。

(2)如果 是从集合A到集合B的一个函数，那么集合B中每个元素不一定都有原象，且当有原象时，原象也不一定唯一。

(3)根据函数的定义可知，两个函数是否相等。需要看：二者的定义域是否相同；对于定义域内的每一个元素，它在这两个函数作用下的象是否恒相同。

对于实际问题，明确其中各种量及量之间的关系，建立正确的函数关系十分重要。在建立函数关系时，首先要确定问题中的自变量与因变量，再根据它们之间的关系列出等式，得出函数关系式，然后确定函数定义域，确定定义域时，不仅要考虑到函数关系的解析式，还要考虑到变量在实际问题中的含义。

建立函数关系的基本步骤：

①明确问题中的因变量与自变量，并以适当记号表示；

②寻找等量关系，建立函数关系；

③确定函数的定义域。

下面举例说明如何建立函数关系。

例1 某商场销售某种商品8000件，每件原价70元，当销售量在5000件以内（包含5000件）时，按照原价出售，超过5000件部分，打八折销售。试建立总销售收入与销售量之问的函数关系。

解：设销售量为x件，总销售收入为R元，总销售收入与销售量之间的函数关系为

例2 某工厂生产某种型号的车床，年产量为a台，分若干批次进行生产，每批次的生产准备费为b元，设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半，设每年每台库存费为c元，显然，生产批量大则库存费高；生产批量少则批数增多，因而生产准备费高，为了选择最优批量，试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量之问的关系。

解：设批量为x，库存费与生产准备费的和为P(x)，因年产量为a，所以每年生产的批数为 (设其为整数)，则生产准备费为 ，因库存量为a，故库存费为 ，因此可得

定义域为(0，a]，因本题中的x为车床的台数，批数 为整数，所以x只应取(0，a]中的a的正整数因子。

例3 某牧场要建造占地100m2的矩形围墙，现有一排长20m的旧墙可供利用，为了节约投资，矩形围墙的一边直接用旧墙修，另外三边尽量用拆去的旧墙改建，不足部分用购置的新砖新建，已知整修1m旧墙需24元，拆去1m旧墙改建成1m新墙需100元，建造1m新墙需200元，设旧墙所保留的部分用x表示，整个投资用y表示，将y表示为x的函数。

解：整个投资的费用包括整修旧墙的费用、拆旧改新的费用以及建造新墙的费用，所以所求函数关系为

例4 某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为a kW·h，本年度将电价降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW·h)，经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)，该地区的电力成本为0.3元/(kW·h)，写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式。

解：收益=实际用电量×(实际电价-成本价)。

所以所求函数关系式为

(为常数，).

(为常数，).

(为常数，).

(为常数，，).

(为常数，，).

(为常数，).

当变量X取某个值时，变量Y的取值可能有若干个，这些数值表现为一定的波动性，但总是围绕着它们的平均数，并遵循一定的规律变动。变量之间存在的这种不确定的数量关系称为相关关系。特点：Y与X的值不一一对应；Y与X的关系不能用函数式严格表达，但有规律可循。

例如：父亲身高Y与子女身高X之间的关系；收入水平Y与受教育程度X之间的关系；粮食亩产量Y与施肥量X1、降雨量X2、温度X3之间的关系；商品的消费量Y与居民收入X之间的关系；商品销售额Y与广告费支出X之间的关系。

区分相关关系与函数关系的依据全凭因变量取值的确定性：若因变量的取值是确定的、唯一的，则两个变量之间的关系称为函数关系；若因变量的取值是不确定的，则两个变量之间的关系称为相关关系。

例5 试判定下列变量之间属于函数关系，还是相关关系。

(1)圆面积与圆半径 (2)价格确定下商品的销售额与销售量

(3)人们的身高与体重 (4)商品广告费支出与销售额

(5)家庭月收入与月支出 (6)施肥量与亩产量

(7)文化程度与年收入 (8)图书印数与图书价格

(9)商品销售额与商品流通费用率 (10)可变销售价格与商品销售额

解：按照函数关系和相关关系的定义与区别，本例中，第(1)、第(2)为函数关系，其余均为相关关系。

注意：变量之间的函数关系和相关关系在一定条件下是可以相互转化的。本来具有函数关系的变量，在存在观测误差时，其函数关系往往以相关的形式表现出来。而具有相关关系的变量之间的联系，如果对其有深刻的规律性认识，并且能够把影响因变量变化的因素全部纳入方程，这时相关关系也可能转化为函数关系。另外，相关关系也具有某种变动规律性，所以，相关关系经常可以用一定的函数形式去近似地描述。客观现象的函数关系可以用数学分析的方法研究，而研究客观现象的相关关系，则必须借助于统计学中的相关与回归分析方法。