在
数论中，分圆域是在有理数域Q中添加
复数单位根进行扩张而得到的
数域。将n次单位根 加入而得到的分圆域称为n次分圆域，记作 。
由于与
费马最后定理的联系，分圆域在现代代数和数论的研究中扮演着重要的角色。正是因为
库默尔对这些数域上（特别是当p为
素数时）的算术的深入研究，特别是在相应
整环上唯一分解定理的失效，使得库默尔引入了
理想数的概念，并证明了著名的库默尔同余。
n次分圆域是多项式 的分裂域，因此是有理数域的伽罗瓦扩域。这个扩张的次数：等于 ，其中 是
欧拉函数。 的所有伽罗瓦共轭是 ，其中 a 遍历模 n的简化剩余系（所有与 n 互质的剩余类）。同样地，n次分圆域的
伽罗瓦群同构于模 n 的乘法群 ，其元素为
高斯最早在研究尺规作
正多边形问题时涉及到了分圆域的理论。这个几何问题实际上可以被转化为
伽罗瓦理论下的叙述：对什么样的n，n次分圆域可以通过若干次的二次扩张得到？高斯发现
正十七边形是可以用尺规作出的。更一般地说，对于一个素数p，正p边形可以用尺规作出当且仅当p为费马素数。
研究费马最后定理时，一个很自然的思路是将分解为的形式，其中的n是一个奇素数。这样得到的一次因式都是n次分圆域中的
代数整数。如果在n次分圆域中
算术基本定理成立，代数整数的素数分解是唯一的，那么可以通过它来确定方程是否有非平凡解。
然而，对于一般的n，这个结论是错误的。但是，库默尔找到了一个绕过这个困难的办法。他引进了“
理想数”的概念，作为对素数概念的改良。他将代数整数的素数分解不唯一的概念量化为
类数：hp，并证明了如果hp不能被p整除（这样的p被称为正规素数），那么费马的猜想对于n=p是成立的。此外，他给出了库默尔准则来判断素数是否是正规的。运用这个准则，库默尔检验了100以下的素数，除了三个“不正规”的：37、59和67。