刘维尔定理_数学术语 - 线报百科mbji.cn

刘维尔定理

数学术语

刘维尔（Liouville）定理是复变函数中的基本定理之一，其内容可简单描述为“一个有界的整函数

定理内容

如果整函数在整个平面上有界，即对所有满足不等式，则必为常数。

可简单描述为：一个有界的整函数必是常函数。

注：(1) 定理内容在实数范围内不成立；

(2) 定理的逆命题成立，即常数是有界常函数。

定理证明

设是平面上任一点，对以为中心，任意正数为半径的圆周，利用柯西不等式，得：

而且，由于可以任意大，所以，必有，即，由于点是任意的，故必为常函数。

重要推论

一、逆否命题：非常数的整函数必无界。

二、若为有界整函数，则：

(1) 的逆也为有界整函数

(2) ，

(3) 为常数

三、几何意义

非常数整函数的值既不能全含于某一圆内，也不能全含于某一圆外。

应用

刘维尔定理作为复变函数的基本定理之一，有着广泛的应用，可以直接或间接的证明推导出很多其他的定理：如代数学基本定理，复平面C上的最大模原理等等，是一种有效的证明手段。

例：设整函数且存在实数，使得，则为常数。

证明：∵为整函数

∴ 也为整函数

取：，则也为整函数

又∵

由刘维尔定理可知为常数

∴也为常数，得证

参考资料

最新修订时间：2023-02-10 09:44

条目作者

概述

定理内容

定理证明

重要推论

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