根的判别式是判断
方程实根个数的公式，在解题时应用十分广泛，涉及到解
系数的
取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是b^2-4ac，用“Δ”表示(读做“delta”)。
定义
一元二次方程判别式
任意一个
一元二次方程均可配成，因为a≠0，由平方根的意义可知，的符号可决定一元二次方程根的情况。
叫做一元二次方程的根的判别式，用“△”表示(读做“delta”)，即△=。
一元二次方程根的情况
方程系数为实数
在一元二次方程中
（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当△<0时，方程没有实数根,方程有两个
共轭虚根。
（1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有实数根。
上面结论反过来也成立，可以具体表示为：
在一元二次方程（a≠0，a、b、c∈R）中，
①当方程有两个不相等的实数根时，△>0；
②当方程有两个相等的实数根时，△=0；
③当方程没有实数根时，△<0。
（1）和（2）合起来：当方程有实数根时，△≥0。
注意 根的判别式是△=，而不是△=。
一元二次方程求根公式：
当Δ=≥0时，，当Δ=0时，x=;
方程系数为虚数
在一元二次方程（a、b、c是虚数）中
当Δ≥0时，此方程有两个相等的复根；
当Δ<0时，此方程有两个不等的复根。
一元二次方程判别式的应用
（1）解方程，判别一元二次方程根的情况。
它有两种不同层次的类型：
②系数中含有字母；
③系数中的字母人为地给出了一定的条件。
（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母的取值范围或字母间关系。
（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）。
应用
① 解一元二次方程，判断根的情况。
② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④ 应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项是
完全平方式。
抛物线与x轴的交点。当y=0时，即有，要求x的值，需解一元二次方程。可见，抛物线与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程的根的情况确定的，而决定一元二次方程的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
1）当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。
2）当Δ=0时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（，0）。
3）当 Δ<0时，抛物线与x轴没有交点。
⑧ 利用根的判别式解有关抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题。
⑨当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
一元三次方程判别式
在特殊形式的
一元三次方程ax^3+bx+c=0中，其判别式为。当时，有一个实根和两个复根；时，有三个实根，当时，有一个三重零根，时，三个实根中有两个相等；时，有三个不等实根。
在一般形式的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0中，一般采用盛金判别法，即
令。
当A=B=0时，方程有一个三重实根。
当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对
共轭虚根。
当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。
当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。