在数学中，虚数就是形如a+b×i的数，其中a，b是实数，且b≠0，i2 = - 1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数a+b×i的实部a可对应平面上的横轴，虚部b可对应平面上的纵轴，这样虚数a+b×i可与平面内的点(a,b)对应。

sin(a+bi)=sin(a)cos(bi)+sin(bi)cos(a)

=sin(a)cosh(b)+isinh(b)cos(a)

cos(a-bi)=cos(a)cos(bi)+sin(bi)sin(a)

=cos(a)cosh(b)+isinh(b)sin(a)

tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi)

cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi)

sec(a+bi)=1/cos(a+bi)

csc(a+bi)=1/sin(a+bi)

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

(a+bi)(c+di）=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2)+(bc-ad)i/(c2+d2)

r1(isina+cosa)r2(isinb+cosb)=r1r2[cos(a+b)+isin(a+b)]

r1(isina+cosa）/r2(isinb+cosb)=r1/r2[cos(a-b)+isin(a-b)]

r(isina+cosa)n=(isinna+cosna)

z1=a+bi, z2=a-bi

-(z1+z2)=-z1+-z2

-(z1-z2)=-z1-(-z2)

-(z1z2)=-z1-z2

-(zn)=(-z)n

-z1/z2=-z1/-z2

-z2=|z|2∈R

zm·zn=zm+n

zm/zn=zm-n

(zm)n=zmn

z1m·z2m=(z1z2)m

(zm)1/n=zm/n

z·z·z…·z（n个）=zn

z1n=z2-->z1=z21/n

ln(a+bi)=ln(a^2+b^2)/2+i Arctan(b/a)

logai(x)=ln(x)/[ iπ/2+ lna]

xai+b=xai·xb=eialn(x)·xb=xb[cos(alnx) + i sin(alnx). ]

在数学里，将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i2=-1。但是虚数是没有算术根这一说的，所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi，也可以表示为e的iA次方的形式，其中e是常数，i为虚数单位，A为虚数的幅角，即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数，起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数，即使是纯虚数，也不能比较大小。

要追溯虚数出现的轨迹，就要联系与它相对实数的出现过程。实数是与虚数相对应的，它包括有理数和无理数，也就是说它是实实在在存在的数。

有理数是伴随人们的生产实践而产生的。

无理数的发现，应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派。无理数的出现，与德谟克利特的“原子论”发生矛盾。根据这一理论，任何两个线段的比，不过是它们所含原子数目的经。而勾股定理却说明了存在着不可通约的线段。

不可通约线段的存在，使古希腊的数学家感到左右为难，因为他们的学说中只有整数和分数的概念，他们不能完全表示正方形对角线与边长的比，也就是说，在他们那里，正方形对角线与边长的比不能用任何“数”来表示。西亚他们已经发现了无理数这个问题，但是却又让它从自己的身边悄悄溜走了，甚至到了希腊最伟大的代数学家丢番图那里，方程的无理数解仍然被称为是“不可能的”。

“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴，与对应平面上横轴的实数同样真实。

人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题。像x2+1=0这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解。12世纪印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的。他认为正数的平方是正数，负数的平方也是正数，因此，一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数，负数没有平方根，因此负数不是平方数。这等于不承认方程的负数平方根的存在。

到了16世纪，意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》（《数学大典》）中，把记为1545R15-15m这是最早的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637年，法国数学家笛卡尔在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。

1545年，意大利米兰的卡尔达诺发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作，提出了一种求解一般三次方程的求解公式：

形如：x3+ax+b=0的三次方程解如下：

x={(-b/2)+[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3+{(-b/2)-[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3

当卡丹试图用该公式解方程x3-15x-4=0时，他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3)

在那个年代负数本身就是令人怀疑的，负数的平方根就更加荒谬了。因此卡丹的公式给出x=(2+j)+(2-j)=4。容易证明x=4确实是原方程的根，但卡丹不曾热心解释(-121)1/2的出现。认为是“不可捉摸而无用的东西”。

直到19世纪初，欧拉系统地使用了i 这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示a+bi，称为复数，虚数才逐步得以通行。

虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚构的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说：“一切形如,√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，虚构的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚构。”

继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。

1843年，威廉·罗文·汉密尔顿（William Rowan Hamilton）将平面中的虚数轴的概念扩展到四元数想象的四维空间，其中三个维与复数域中的虚数相似。

随着多项式环的商环的发展，假想数的概念变得更加显着，但是也可以找到其他虚数，例如具有+1的平方的tessarines的j。 这个想法首先出现在1848年开始的James Cockle的文章中。

1777年，瑞士数学家欧拉(Euler，或译为欧勒)开始使用符号i表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来，写成a+bi形式 (a、b为实数，a等于0时叫纯虚数，a、b都不等于0时叫复数，b等于0时就是实数)。

在工程运算中，为了不与其他符号（如电流的符号）相混淆，有时也用 j 或 k 等字母来表示虚数的单位。

通常，用符号C来表示复数集，用符号R来表示实数集。

在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数，那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数，称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。在此时，一点P坐标为P （a，bi），将坐标乘上 i 即点绕圆心逆时针旋转90度。

不能满足于上述图像解释的同学或学者可参考以下题目和说明：

若存在一个数，它的倒数等于它的相反数（或者它的倒数的相反数为其自身），这个数是什么形式？

根据这一要求，可以给出如下方程：

-x = (1/x)

不难得知，这个方程的解x=±i （虚数单位）

由此，若有t'=t×i，将i理解为从t的单位到t'的单位之间的转换单位，则t'=t×i将被理解为

-t' = 1/t

即

t' = - 1/t

这一表达式在几何空间上的意义不大，但若配合狭义相对论，在时间上理解，则可以解释若相对运动速度可以大于光速c，相对时间间隔产生的虚数值，实质上是其实数值的负倒数。也就是所谓回到过去的时间间隔数值可以由此计算出来。

虚数成为微晶片和数字压缩算法设计中的核心工具，虚数是引发电子学革命的量子力学的理论基础。

虚数是用来表示事物中无法构成抽象概念的因素的抽象概念。

一切事物的值都可表示为：a+bi，而不是单有实数。

i 的高次方会不断作以下的循环：

i1 = i

i2= - 1

i3 = - i

i4 = 1

i5 = i

i6 = - 1

...

in具有周期性，且最小正周期是4。

∴ i4n=1

i4n+1=i

i4n+2=-1

i4n+3=-i

由于虚数特殊的运算规则，出现了符号 i

当ω=-1/2+（√3）/2i或ω=-1/2-（√3）/2i时：

ω2 + ω + 1 = 0

ω3 = 1

许多实数的运算都可以推广到i，例如指数、对数和三角函数。

一个数的ni次方为：

xni = cos(ln(xn)) + i sin(ln(xn)).

一个数的ni次方根为：

x1/ni= cos(ln(x1/n)) - i sin(ln((x1/n)).

以i为底的对数为：

log_i(x) = 2 ln(x)/ iπ.

i的余弦是一个实数：

cos(i) = cosh(1) = (e + 1/e)/2 = (e2 + 1) /2e = 1.54308064.

i的正弦是虚数：

sin(i) = sinh(1) i =[(e - 1/e)/ 2]i = 1.17520119 i.

i,e,π,0和1的奇妙关系：

eiπ+1=0

ii=e-π/2

虚数 原作：劳伦斯·马克·莱瑟（阿姆斯特朗大西洋州立学院）

翻译：徐国强

虚文自古向空构，艾字如今可倍乘。所问逢人惊诧甚，生活何处有真能？嗟哉小试调音放，讶矣大为掌夜灯。三极管中知用否，交流电路肯咸恒。凭君漫问荒唐义，负值求根疑窦增。情类当初听惯耳，事关负数见折肱。几分繁复融学域，百计联席悦有朋。但看几何三角地，蓬勃艾草意同承[①]。

IMAGINARY by Lawrence Mark LesserArmstrong Atlantic State University

虚数符号的应用，并谐音双关see eye to eye 为意见一致引起了争议

a=a+i

含义为与一切事物皆无联系的概念，无论a如何变化，i 都不会变。