有理数是能够表示为两个整数比的数（a/b，a、b为整数，b≠0)即整数和分子分母都是整数的分数（分母不为零），整数可以看作是分母是1的分数。所有有理数的集合表示为Q。

“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很明显，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

有理数是能够表示为两个整数比的数(,、为整数，)，即整数和分子分母都是整数的分数（分母不为零），整数可以看作是分母是1的分数。所有有理数的集合表示为或。

古希腊时期的公元前6世纪，毕达哥拉斯学派首次提出了有理数的概念，并研究了数的比例关系。公元前3世纪，欧几里得在其著作《几何原本》中系统阐述了有理数和比例理论，为有理数的理论奠定了基础。

公元1世纪的希腊数学家尼科马库斯在其著作《算术入门》中详细讨论了有理数的性质和应用。17世纪，笛卡尔在其坐标几何中应用了有理数，这促进了有理数在几何中的应用和发展。

现代随着数学分析、数论和代数的发展，有理数的理论进一步完善，并在各种数学分支中得到了广泛应用。

毕达哥拉斯提出了有理数概念，研究数的比例关系；欧几里得系统阐述了有理数和比例理论；笛卡尔在坐标几何中应用有理数，促进了解析几何的发展。

欧几里得在公元前3世纪完成的《几何原本》是数学史上的里程碑，其中系统讨论了有理数的性质。到了17世纪，笛卡尔提出坐标系，将有理数应用于几何学。

由于任何一个整数或分子分母都是整数的分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分子分母都是整数的分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。

有理数的大小顺序的规定：如果是正有理数，则称大于或小于a，记作或。任何两个不相等的有理数都可以比较大小，每一对有理数之间皆可比较，必有且仅有以下关系之一：

满足传递性：若，且，则。

有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是稠密的，而整数集是稀疏的。将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性。整数集没有这一特性，两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。

有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。

有理数的分类按不同的标准有按定义分类、按符号进行分类两种；按定义分类有理数分为整数、分子分母都是整数的分数；按符号进行分类有理数分为正有理数、0、负有理数。小数可以化为分数，所以可以把小数看成分数。

古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如：

对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。

有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的，亦即有理数加、减、乘、除有理数的结果仍为有理数。有理数的加法和乘法如下：

两个有理数和相等当且仅当。

有理数中存在加法和乘法的逆：

时，

两数相乘，同号得正异号得负，并把绝对值相乘。

1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

3、互为相反数的两数相加得0。

4、一个数同0相加仍得这个数。

在只有加法的运算中，为了快速计算，互为相反数的两个数，可以先相加；符号相同的数可以先相加；分母相同的数可以先相加；几个数相加能得整数的可以先相加。

减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。

1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2、任何数与0相乘，都得0。

3、几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

4、几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。

5、几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。

1、除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。

2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任意一个不等于0的数，都得0。

注意：

0不能做除数，即不能作分母。

有理数的除法与乘法是互逆运算。

在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。

1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。例如：

2、正数的任何次幂都是正数，0的任何正数次幂都是0。例如：

3、0的0次幂无意义。

4、由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。

1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即

2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变，即

减法运算律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：

1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即

2、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数先乘，或者先把后两个相乘，积不变，即

3、乘法分配律：某个数与两个数的和相乘等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，即

有理数的加、减、乘、除混合运算，如果有括号，先算括号里的，如果没有括号指出先做什么运算，按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果是同级运算，则按照从左到右的顺序依次计算。

在代数运算中不当使用除以零可得出无效证明： 。前提不等于。

若某数学系统遵从域的公理，则在该数学系统内除以零必须没有意义。这是因为除法被定义为是乘法的逆向操作，即值是方程中的解（若有的话）。若设，方程式可写成或直接。因此，方程没有解（当时），但是任何数值也可解此方程（当时）。

即：对于非零，方程没有解，所以无法定义。

对于，方程有无穷多个解，导致也是不确定的。